¿Cuál es la suma de los cuadrados de los recíprocos de todos los primos gemelos? ¿Qué pasa si los cuadrados se reemplazan por enésimas potencias?

Answer 1

Bueno, la suma converge para [math] n \ geq 1 [/ math]; esto es evidente si [math] n \ geq 2 [/ math] (porque debe ser estrictamente menor que [math] \ sum_ {n = 1 } ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} [/ math], que converge), pero para probar el límite más estricto, se necesita el teorema de Brun (como señaló Héctor Martín Peña Pollastri).

Sospecho que si realmente pudiéramos encontrar una expresión de forma cerrada para la suma de [math] n [/ math] -th poderes de recíprocos de primos gemelos (para cualquier número entero [math] n [/ math]), entonces estaríamos capaz de resolver la conjetura del primo gemelo.

La razón es bastante simple: casi con seguridad, tal expresión sería irracional, lo que incluso podrías probar. Sin embargo, cualquier suma finita de números racionales debe ser racional, por lo que esto probaría de inmediato que hay un número infinito de primos gemelos.

¿Existe siquiera una expresión de forma tan cerrada? Estoy completamente inseguro. Ni siquiera hay realmente una expresión de forma cerrada para la suma de recíprocos de cuadrados de todos los números primos; vea la suma del recíproco de los números primos al cuadrado.

Answer 2

Dado que la suma de los recíprocos de todos los primos gemelos converge (véase el teorema de Brun), se deduce por la prueba de comparación que la suma de los recíprocos de cuadrados (o n potencias) de primos gemelos también converge. El valor puede ser calculado por una computadora con la precisión deseada. No creo que tenga un valor que pueda escribirse en términos de valores constantes conocidos (como pi o e), ya que la constante de Brun tampoco tiene una expresión como esa.

Answer 3

A pesar de los rumores acerca de los primos gemelos últimamente, no creo que hayamos resuelto la Conjetura de los Primes Gemelos todavía, así que no sabemos si hay infinitos o finitos. Como actualmente no estamos seguros de cuántos primos gemelos hay, no creo que podamos responder razonablemente a esto todavía.