Aquí hay una prueba.
Como señala Michal Forišek, hay una prueba del caso n = 4 que se remonta al propio Fermat. Si una prueba es ‘simple’ o no, está en la mente del espectador. Para mí, esta prueba es demasiado compleja para llamarla simple, pero creo que es accesible para un aficionado a las matemáticas. Leí Wikipedia y algunos otros sitios web, pero no vi ninguna presentación que realmente me gustara, así que haré una prueba completa aquí que no supone experiencia previa.
Primero revisaremos lo que se sabe sobre los triples pitagóricos primitivos. A continuación, presentaremos y probaremos dos lemas. Luego haremos un análisis final.
Todos los números aquí son enteros positivos …
Triples pitagóricos primitivos
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Digamos que hay números [matemática] a, b, c [/ matemática] donde [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática].
Si [matemática] g [/ matemática] es el factor más grande de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] hay números [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] donde [matemática] a = gx [/ matemática], [matemática] b = gy [/ matemática] y [matemática] z = gc [/ math]. Al dividir la ecuación entre [matemática] g ^ 2 [/ matemática] se obtiene [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemática].
Llame una primitiva pitagórica triple [matemática] (x, y, z) [/ matemática] cuando los números no tienen un factor común. Cualquiera de los dos números de un triple primitivo debe ser coprimo, ya que un factor que dividiría dos de ellos debe dividir el tercero, lo que hace que el triple no sea primitivo. En particular, [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] no pueden ser pares. Además, ambos no pueden ser extraños. Si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] fueran impares, la suma de sus cuadrados tendría la forma [math] 4k + 2 [/ math], mientras que [math] z ^ 2 [/ matemática] debe tener la forma [matemática] 4k [/ matemática] o [matemática] 4k + 1 [/ matemática]. Entonces, uno de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] es impar mientras que el otro es par. Entonces [math] z [/ math] es impar.
Digamos que [math] x [/ math] es el impar. Reescribe la ecuación como [matemáticas] y ^ 2 = z ^ 2-x ^ 2 = (zx) (z + x) [/ matemáticas]. Dado que [math] z [/ math] y [math] x [/ math] son impares, su suma y diferencia son ambas iguales, por lo que hay números [math] r [/ math] y [math] s [/ math] donde [matemáticas] (z + x) = 2r [/ matemáticas], [matemáticas] (zx) = 2s [/ matemáticas]. Entonces tienes [matemáticas] x = rs [/ matemáticas] y [matemáticas] z = r + s [/ matemáticas]. Como [math] x [/ math] y [math] z [/ math] son números coprimos [math] r [/ math] y [math] s [/ math] deben ser coprime porque cualquier divisor de ambos [math] r [ / math] y [math] s [/ math] dividirían tanto [math] x [/ math] como [math] z [/ math].
Ya que [math] y [/ math] es par, hay un número [math] t [/ math] donde [math] y = 2t [/ math] entonces [math] 4t ^ 2 = y ^ 2 = (zx) ( z + x) = 4rs [/ math], entonces [math] t ^ 2 = rs [/ math]. Todos los factores de [math] t [/ math] deben aparecer dos veces en [math] t ^ 2 [/ math], por lo que deben aparecer dos veces en el producto [math] rs [/ math]. Si algún factor apareciera una vez en [matemática] r [/ matemática] y una vez en [matemática] s [/ matemática] entonces [matemática] r [/ matemática] y [matemática] s [/ matemática] no sería coprime. Por lo tanto, cada factor debe aparecer dos veces en [matemáticas] r [/ matemáticas] o dos veces en [matemáticas] s [/ matemáticas]. Por lo tanto, deben existir números [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] de modo que [matemática] r = p ^ 2 [/ matemática] y [matemática] s = q ^ 2 [/ matemática]. Entonces [math] t = \ sqrt {rs} = pq [/ math].
Sustituyendo esos valores de [matemática] r [/ matemática], [matemática] s [/ matemática] y [matemática] t [/ matemática] en las ecuaciones anteriores [matemática] y = 2t [/ matemática], [matemática] x = rs [/ math], y [math] z = r + s [/ math] da la forma general de triples primitivos:
[matemática] y = 2pq [/ matemática], [matemática] x = p ^ 2-q ^ 2 [/ matemática], [matemática] z = p ^ 2 + q ^ 2 [/ matemática].
Entonces, para cualquier triple primitivo existe un par correspondiente, [math] p [/ math] y [math] q [/ math], que lo genera como tal. Tenga en cuenta que [math] p [/ math] y [math] q [/ math] deben ser primos, ya que si tuvieran un factor primo común, ese factor también dividiría [math] x [/ math], [math] y [/ math] y [math] z [/ math], lo que hace que el triple no sea primitivo. Además, [math] p [/ math] y [math] q [/ math] no pueden ser impares, ya que [math] x [/ math], [math] y [/ math] y [math] z [/ matemáticas] todo sería par, nuevamente haciendo que el triple no primitivo. Entonces uno de [math] p [/ math] y [math] q [/ math] es impar mientras que el otro es par.
Lema 1: Si existe un triple primitivo de la forma [matemáticas] (a ^ 2, b ^ 2, c) [/ matemáticas] hay otro triple primitivo de la forma [matemáticas] (d ^ 2, e ^ 2, f) [/ math] donde [math] f <c [/ math] .
Si [math] (a ^ 2, b ^ 2, c) [/ math] es primitivo, podemos suponer que [math] a ^ 2 [/ math] es impar mientras que [math] b ^ 2 [/ math] es par. Entonces existe [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] donde [matemática] a ^ 2 = p ^ 2-q ^ 2 [/ matemática], [matemática] b ^ 2 = 2pq [/ matemática] y [matemática] c = p ^ 2 + q ^ 2 [/ matemática].
La primera ecuación se puede escribir [matemáticas] a ^ 2 + q ^ 2 = p ^ 2 [/ matemáticas]. Como [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son números coprimos, entonces [math] (a, q, p) [/ math] es un triple primitivo. También eso revela que [math] p [/ math] debe ser el impar y [math] q [/ math] el par.
Como [math] b ^ 2 [/ math] es par, hay un [math] t [/ math] tal que [math] b = 2t [/ math] entonces [math] 4t ^ 2 = 2pq [/ math] so [matemáticas] p (q / 2) = t ^ 2 [/ matemáticas]. Como [math] p [/ math] y [math] (q / 2) [/ math] son números coprimos y su producto es un cuadrado, deben existir números [math] f [/ math] y [math] g [/ math ] tal que [matemática] p = f ^ 2 [/ matemática] y [matemática] (q / 2) = g ^ 2 [/ matemática].
Como [math] (a, q, p) [/ math] es un triple, hay números [math] m [/ math] y [math] n [/ math] de modo que [math] a = m ^ 2-n ^ 2 [/ matemática], [matemática] q = 2mn [/ matemática] y [matemática] p = m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemática].
La primera ecuación no es necesaria. La segunda ecuación da esto: [matemáticas] mn = (q / 2) = g ^ 2 [/ matemáticas]. Como [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son números coprimos y su producto es un cuadrado, existen números coprime [math] d [/ math] y [math] e [/ math] de manera que [ matemáticas] m = d ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = e ^ 2 [/ matemáticas].
Sustituyendo los valores de [matemática] p [/ matemática], [matemática] m [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] en la tercera ecuación [matemática] p = m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemática] da [matemáticas] f ^ 2 = (d ^ 2) ^ 2 + (e ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas].
Entonces [matemáticas] (d ^ 2, e ^ 2, f) [/ matemáticas] es un triple primitivo.
Finalmente, [matemática] c = p ^ 2 + q ^ 2 [/ matemática] implica [matemática] p ^ 2 <c [/ matemática] entonces [matemática] p <c [/ matemática] así que [matemática] f ^ 2 < c [/ math] entonces [math] f <c [/ math] según se requiera.
Lema 2: No hay triples primitivos de la forma [matemáticas] (a ^ 2, b ^ 2, c) [/ matemáticas] .
El alto número de ese triple (es decir, [math] c [/ math]) sería un número entero positivo. Como hay un entero positivo más pequeño, hay un valor más pequeño que [math] c [/ math] puede tener. Si existe tal triple, suponga que [math] c [/ math] tiene el menor valor posible. Ahora considere que Lemma 1 mostró que habría otro triple con un número alto más bajo. Es una contradicción decir que [math] c [/ math] es el número alto más pequeño y no el más pequeño de un triple. Como la premisa conduce a esa contradicción, concluimos que la premisa es falsa. No existe tal triple.
El último teorema de Fermat para n = 4
Supongamos que hay números [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] donde [matemática] a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 4 [/ matemática] .
Si [math] g [/ math] es el mayor factor de [math] a [/ math], [math] b [/ math], [math] c [/ math] hay números [math] x [/ math ], [matemática] y [/ matemática], [matemática] z [/ matemática] donde [matemática] a = gx [/ matemática], [matemática] b = gy [/ matemática] y [matemática] z = gc [ /matemáticas]. Al dividir entre [matemática] g ^ 4 [/ matemática] se obtiene [matemática] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4 [/ matemática]. Dos de [math] x [/ math], [math] y [/ math] y [math] z [/ math] son coprimos, ya que cualquier factor de dos de ellos debe dividir el tercero. Eso significa que [matemáticas] (x ^ 2, y ^ 2, z ^ 2) [/ matemáticas] es un triple primitivo.
Pero Lemma 2 demostró que no existe tal triple.
Entonces, para todos los enteros positivos [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática], vemos [matemática] a ^ 4 + b ^ 4 \ neq c ^ 4 [ /matemáticas].
¡Espero que ayude! Fue un buen ejercicio para mí.