Daré una solución fácil (pero tediosa) y una solución dura pero muy limpia.
Solución fácil:
Comience expandiendo el número como [matemáticas] (2+ \ sqrt {3}) ^ 3 = 26 + 15 \ sqrt {3} [/ matemáticas], como observa Josh. Pero puede resolver el problema de manera mucho más eficiente que utilizando el cálculo.
Observe que es suficiente saber el número entero más grande menor que [math] 15 \ sqrt {3} [/ math], ya que solo necesitaremos agregar 26 a eso.
- Pruebas (matemáticas): ¿Es esta la demostración correcta de la Conjetura de Beal?
- ¿Cuál de estas matemáticas es la más fácil: matemática discreta, teoría de números o álgebra lineal?
- Cómo escribir una función para verificar si un número aleatorio generado es el mismo que el entero que ingresó en el main
- ¿Por qué no se permite la división como una operación aritmética modular?
- ¿Puedes resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 2 – 1 = 2 (y + z) + \ frac {y ^ 2 -1} {2z} [/ matemáticas] sobre los enteros positivos?
Para este paso, puede observar que [math] 15 \ sqrt {3} = \ sqrt {15 ^ 2 \ cdot 3} = \ sqrt {675} [/ math]. Ahora puede usar prueba y error para notar que [matemáticas] 26 ^ 2 = 676 [/ matemáticas], que está justo por encima de [matemáticas] 675 [/ matemáticas]; esto te dice que la raíz cuadrada de [math] 675 [/ math] está entre 25 y 26 (y muy cerca de 26). Entonces la respuesta es 26 + 25 = 51.
Solución inteligente:
Observe que [math] (2+ \ sqrt {3}) ^ 3 + (2- \ sqrt {3}) ^ 3 [/ math] sale exactamente al número entero 26 + 26 = 52, porque los términos que involucran [ math] \ sqrt {3} [/ math] se cancela perfectamente cuando se expande, mientras que los términos racionales son iguales. Ahora solo observe que [math] \ sqrt {3} [/ math] está entre 1 y 2 (ya que [math] 1 ^ 2 3 [/ math]), entonces [math] 2- \ sqrt {3} [/ math] es un número positivo menor que 1, por lo tanto, su tercer poder también lo es. Eso le dice que el número [matemáticas] (2+ \ sqrt {3}) ^ 3 [/ matemáticas] es igual a 52 menos un número entre 0 y 1, lo que le da la respuesta de 51.
Puede parecer que este truco sale de la nada, pero se verá muy natural si ha estudiado los números de Fibonacci (y la fórmula de Binet para ellos) en detalle; La misma idea se utiliza en ese entorno con gran efecto.
Una extensión divertida de la idea en esta solución: convencerse de que [math] (2+ \ sqrt {3}) ^ n [/ math] está extremadamente cerca de un entero (pero no un entero) para valores grandes de n. Esta es una propiedad muy especial de solo números irracionales específicos.