Cómo encontrar todos los ideales primarios del anillo de enteros Z

Answer 1

Primero observe que el ideal cero es un ideal primo. Encontremos otros.

[math] \ mathbb {Z} [/ math] es un dominio ideal principal. Significa que cualquier ideal de [math] \ mathbb {Z} [/ math] es generado por un solo elemento. Deje que [math] I [/ math] sea un ideal ideal de [math] \ mathbb {Z} [/ math]. Entonces existe [math] m \ in \ mathbb {Z} [/ math] tal que [math] I = [/ math] [math] \ langle m \ rangle [/mathfont>[mathfont>.[/math]

[math] I [/ math] es un ideal primario, entonces cualquiera de la definición de ideal primario, [math] I \ neq \ mathbb {Z}. [/ math]

Afirmamos que [math] m [/ math] debe ser primo. Deje [math] m = xy [/ math] para algunos [math] x, y \ in \ mathbb {Z}. [/matemáticas]

Según la definición de ideal primario, [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] y [/ matemáticas] deben pertenecer a [matemáticas] I [/ matemáticas]. Sin pérdida de generalidad, suponga que [math] x \ en I. [/ math] Pero, [math] I = \ langle m \ rangle \ implica x = km [/ math] para algunos [math] k \ in \ mathbb { Z}. [/ Math] Entonces, [math] m = ykm \ implica m (1-ky) = 0 \ implica y = + 1 [/ math] o [math] -1 [/ math]. Lo que muestra que [math] m [/ math] es primo.

Por lo tanto, un ideal primo es el ideal cero o tiene la forma [math] \ langle m \ rangle [/ math] donde [math] m [/ math] es un número primo.

Answer 2

Podemos utilizar el hecho de que si una [matemática] I [/ matemática] ideal de [matemática] R [/ matemática] es primo, entonces [matemática] R / I [/ matemática] es un dominio integral.

Entonces dejamos que [math] Z [/ math] sea nuestro anillo, y [math] I [/ math] sea cualquier ideal de [math] \ mathbb Z [/ math]. La afirmación es que [math] I = (p) [/ math] donde [math] p [/ math] es primo (incluido cero).

Prueba: si [math] I [/ math] es un ideal primordial, entonces [math] \ mathbb Z / I [/ math] es un dominio integral. Como todos los ideales de [math] \ mathbb Z [/ math] son ​​principios, [math] \ mathbb Z / (n) = \ mathbb Z_n [/ math]. Como [math] I [/ math] es primo, [math] \ mathbb Z_n [/ math] debe ser un dominio integral. Si es un dominio integral, también debe ser un campo, ya que es un dominio integral finito. ¡Pero los únicos campos finitos de la forma [math] \ mathbb Z_n [/ math] son ​​aquellos con [math] n [/ math] como número primo! Por lo tanto, todos los ideales primarios son de la forma [matemáticas] (p) [/ matemáticas]. Y también [math] (0) [/ math] es un ideal principal en [math] \ mathbb Z [/ math] ya que [math] \ mathbb Z [/ math] es un dominio integral.