Dado el tercer término, el tercer último término y la suma de un AP, ¿cuál será el primer término, la diferencia común y el número de términos de la progresión?

Answer 1

Supongamos que [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] denotan el tercer y el tercer término de la progresión aritmética respectivamente, es decir, [matemática] X = a + 2d [/ matemática] y [matemática] Y = a + (n-3) d [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática], [matemática] d [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son ​​lo que usted esperaría que fueran. Tenga en cuenta que se nos da [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas]

Ahora, también se nos da la suma de los términos [matemática] n [/ matemática] es decir [matemática] S = \ frac {n} {2} [2a + (n-1) d] [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow S = \ frac {n} {2} [(a + 2d) + (a + (n-3) d)] [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow S = \ frac {n} {2} [X + Y] [/ matemática]

[math] \ Rightarrow n = \ frac {2S} {X + Y} [/ math]

Habiendo calculado [math] n [/ math], podemos volver a conectar su valor en la expresión para [math] Y [/ math]. Esto nos dará 2 ecuaciones en 2 incógnitas ([matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas]) que podemos resolver para determinar las variables restantes.

[matemáticas] X = a + 2d [/ matemáticas] y [matemáticas] Y = a + (\ frac {2S} {X + Y} – 3) d [/ matemáticas]

Answer 2

Los problemas de progresiones aritméticas son fáciles en el sentido de que solo se trata de escribir ecuaciones y manipularlas para encontrar los valores de las variables. Así que veamos los datos dados.

Tercer término = a + 2d = k1, digamos (se conoce k1)

Tercer último término = a + (n-3) d = k2 (se conoce k2)

Suma de AP = n / 2 [2a + (n-1) d]

Muy bien, ahora tenemos las ecuaciones. Agreguemos las dos primeras ecuaciones.

2a + (n-1) d = k1 + k2

Poniendo esto en la fórmula para la suma de términos, S = n / 2 (k1 + k2).

Por lo tanto, n = 2S / (k1 + k2)

Ahora resta la primera ecuación de la segunda.

(n-5) d = k2 – k1. Como sabes n, puedes encontrar d.

Y ahora, dado que conoce el valor de d, sustitúyalo en la primera ecuación para encontrar a, el primer término. Espero que haya ayudado 🙂