¿Cuáles son las soluciones integrales para la ecuación m ^ k = m! + k! ¿Donde myk son enteros positivos?

Answer 1

-A2A-

Para la ecuación, [matemáticas] x ^ y = x! + Y! [/ Matemáticas]

[matemáticas] x \ ne 0, x \ ne 1, y \ ne 0, y \ ne 1 [/ matemáticas]

Razón:

• si [matemática] x = 0, [/ matemática] entonces, [matemática] 0 [/ matemática] [matemática] = 1 + y! [/ matemática]

[matemáticas] y! = – 1 [/ matemáticas] -> NO ES POSIBLE

• si [matemática] x = 1, [/ matemática] entonces, [matemática] 1 = 1 + y! [/ matemática]

[matemática] y! = 0 [/ matemática] -> NO POSIBLE

• si y [matemáticas] = 0, [/ matemáticas] entonces, [matemáticas] 1 = x! +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x! = 0 [/ matemáticas] -> NO ES POSIBLE

• si y [matemáticas] = 1, [/ matemáticas] entonces, [matemáticas] x = x! +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ((x-1)! – 1) = 1 [/ matemáticas]

Dado que ambos son números naturales y el producto es [matemática] 1, [/ matemática] ambos deben ser [matemática] 1 [/ matemática]

Como [math] x \ ne 1 [/ math] Threfore la ecuación dada en y = 1 NO ES POSIBLE

Por lo tanto, [math] x \ ge 2 [/ math] y [math] y \ ge 2 [/ math]

Como son números naturales, por lo tanto, podrían ser ODD o INCLUSO

[matemática] (x, y) = {(E, E), (E, O), (O, E), (O, O)} [/ matemática] -> Aquí E y O representan INCLUSO y ODD

Como, [matemáticas] x \ ge 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ ge 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, RHS SIEMPRE ES INCLUSO

Por lo tanto, LHS DEBE SER INCLUSO

[matemática] O ^ O [/ matemática] y [matemática] O ^ E [/ matemática] son ​​ODD por lo tanto son rechazadas

[matemáticas] (x, y) = {(E, E), (E, O)} [/ matemáticas]

[matemáticas] (5,3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (3,6) [/ matemáticas] están bastante cerca pero no son correctas

¡Espero eso ayude!

Answer 2

Digamos [matemáticas] 2

[matemáticas] m ^ k = m! (1+ (m + 1) (m + 2)… (k)) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que cada número primo que divide [math] m! [/ Math] también debe dividir [math] m ^ k [/ math] y, por lo tanto, [math] m [/ math].

Obviamente [math] m [/ math] debe ser par, así que escribe [math] m = 2 ^ {j} n [/ math] donde n es impar.

[matemáticas] (2 ^ {j} n) ^ k = 2 ^ {jk} n ^ {k} = (2 ^ {j} n)! (1+ (2 ^ jn + 1) (2 ^ jn + 2 )… (K)) [/ matemáticas]

Si [matemática] k = m + 1 [/ matemática], el término final solo aporta una potencia de dos, [matemática] 1+ (2 ^ jn + 1) = 2 (2 ^ {j-1} n + 1) [/matemáticas]. Si k es mayor, ese término final es impar.

El mayor poder de 2 que divide [math] m! [/ Math] es

[matemáticas] X = \ lfloor m / 2 \ rfloor + \ lfloor m / 4 \ rfloor + \ lfloor m / 8 \ rfloor +… [/ math]

Nos gustaría mostrar que esto no puede ser igual a [math] jk [/ math] (o [math] jk-1 [/ math] en el caso [math] k = m + 1 [/ math]. ) De hecho, suele ser mucho menos:

[matemática] X 1 [/ matemática]. (Incluso en el caso [math] j = 1 [/ math], tenemos [math] X

Entonces, no tenemos soluciones con [math] 2 k [/ math] puede tratarse de manera similar a la anterior .

También puede usar los límites exponenciales en los valores factoriales para eliminar casi todos los valores de myk; no es como si la igualdad estuviera “cerca”, salvo un puñado de valores pequeños:

[matemáticas] e (\ frac {n} {e}) ^ n \ leq n! \ leq e (\ frac {n + 1} {e}) ^ {n + 1} [/ math]