Si [math] \ frac {a ^ 2} {b + c} = \ frac {b ^ 2} {c + a} = \ frac {c ^ 2} {a + b} [/ math] entonces pruebe que [ matemáticas] \ frac {1} {1 + a} + \ frac {1} {1 + b} + \ frac {1} {1 + c} = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

let [matemáticas] a ^ 2 / b + c = b ^ 2 / a + c = c ^ 2 / a + b = 1 / k [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] b + c = ka ^ 2 ……. (1) [/ matemáticas]

y [matemáticas] a + c = kb ^ 2 ……. (2) [/ matemáticas]

también, [matemáticas] a + b = kc ^ 2 …… (3) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] (1) – (2): ba = k (a ^ 2 – b ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] k = 1 / (- a -b) [/ matemáticas] o a = b

De, (2) y (3) [matemáticas] ……… k = 1 / (- a -c) [/ matemáticas] o a = c

y de (2) y (3) [matemáticas] ……… .k = 1 / (- c -b) [/ matemáticas] o b = c

Entonces, [matemáticas] a = b = c [/ matemáticas] (comparando k)

Poniendo esto en (1): a = 0 o a = 2 / k …

Pero k = [matemáticas] 1 / (- a -b) [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 / -2a [/ matemáticas]

Entonces, a = 2 / k = 2/1 / -2a = -4a: por lo tanto, a = 0 ..

Entonces, ([matemáticas] 1 + a) ^ {- 1} + (1 + b) ^ {- 1} + (1 + c) ^ {- 1} = 3. [/ Matemáticas]

Por favor, una vez más revise su pregunta … Esto puede estar incompleto o algo más …

Hice mi mejor esfuerzo y seguí el proceso … Así que, sin duda, le aconsejaría que revise la pregunta una vez más …

Saludos.

Answer 2

La pregunta es incorrecta.
Si suponemos que a, b, c son 1,
Entonces satisface la condición dada
Pero {1 / (1 + a)} + {1 / (1 + b)} + {1 / (1 + c)}
Será 3/2 y no 1.

Answer 3

Considere la pregunta: si
a ^ {2} / (b + c) + b ^ {2} / (a ​​+ c) + c ^ {2} / (a ​​+ b) ………………. (yo) ,
podemos probar que
1 / (1 + a) + 1 / (1 + b) + 1 / (1 + c) = 1
……………………… .. (ii)
La respuesta es no.
Puede ilustrarse con el siguiente ejemplo: Tomando a = b = c, (i) está satisfecho pero (ii) no está satisfecho excepto cuando a = b = c = 2.
Supongamos que insistimos en que a, b, c son distintos y positivos.
Suponga que a = m, b = n, c = p es una solución de (i) y (ii),
entonces a = 2m, b = 2n, c = 2p satisface (i) pero no (ii). Por lo tanto, la solución de (i) no necesita ser una solución de (ii). Esto prueba que la pregunta está mal.