¿Cuántas soluciones enteras no triviales existen para [matemáticas] x ^ 3 – y ^ 2 = z ^ 5 [/ matemáticas]?

Answer 1

No veo ninguna razón para esperar que el número sea finito, pero quizás me falta algo. Me resultó más fácil trabajar con [matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3 – z ^ 5 [/ matemáticas]. La búsqueda por computadora muestra las siguientes soluciones con x, y, z coprime:

[matemáticas] 7 ^ 3 – 3 ^ 5 = 100 = 10 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1153 ^ 3 – 6 ^ 5 = 1532800801 = 39151 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1226 ^ 3 – 55 ^ 5 = 1339486801 = 36599 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16514 ^ 3 – 295 ^ 5 = 2269430770369 = 1506463 ^ 2 [/ matemáticas]

y algunas soluciones más donde no son coprime, pero aún parecen no triviales:

[matemáticas] 117 ^ 3 – 9 ^ 5 = 1542564 = 1242 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 128 ^ 3 – 16 ^ 5 = 1048576 = 1024 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 320 ^ 3 – 16 ^ 5 = 31719424 = 5632 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 768 ^ 3 – 32 ^ 5 = 419430400 = 20480 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 832 ^ 3 – 48 ^ 5 = 321126400 = 17920 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1120 ^ 3 – 24 ^ 5 = 1396965376 = 37376 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1296 ^ 3 – 72 ^ 5 = 241864704 = 15552 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1377 ^ 3 – 72 ^ 5 = 676052001 = 26001 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] 2500 ^ 3 – 100 ^ 5 = 5625000000 = 75000 ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] 2592 ^ 3 – 72 ^ 5 = 15479341056 = 124416 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2816 ^ 3 – 112 ^ 5 = 4707057664 = 68608 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3168 ^ 3 – 72 ^ 5 = 29859840000 = 172800 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3888 ^ 3 – 108 ^ 5 = 44079842304 = 209952 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5760 ^ 3 – 144 ^ 5 = 129185611776 = 359424 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6561 ^ 3 – 162 ^ 5 = 170852435649 = 413343 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6948 ^ 3 – 36 ^ 5 = 335352177216 = 579096 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7168 ^ 3 – 192 ^ 5 = 107374182400 = 327680 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7776 ^ 3 – 72 ^ 5 = 468250066944 = 684288 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10625 ^ 3 – 100 ^ 5 = 1189462890625 = 1090625 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 12960 ^ 3 – 216 ^ 5 = 1706597351424 = 1306368 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 13968 ^ 3 – 72 ^ 5 = 2723292057600 = 1650240 ^ 2 [/ matemáticas]

Muchos de los MCD son cuadrados, lo que puede ser significativo. Por ejemplo, el primero en la lista:

[matemáticas] (3 ^ 2 \ cdot 13) ^ 3 – (3 ^ 2) ^ 5 = (2 \ cdot 3 ^ 3 \ cdot 23) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {6} \ cdot 13 ^ 3 – 3 ^ {10} = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 6 \ cdot 23 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 ^ 3 – 3 ^ 4 = 2 ^ 2 \ cdot 23 ^ 2 [/ matemáticas]

Esto dice que un cubo es la suma de dos cuadrados, ¿tal vez si trabajamos hacia atrás a partir de tal solución? Ver: ¿Cuándo es la suma de dos cuadrados un cubo?

[matemáticas] a ^ 3 = b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 – b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3b ^ 3 – b ^ 5 = c ^ 2b ^ 3 [/ matemáticas]

Eso solo funciona si [math] b [/ math] es en sí mismo un cuadrado, que a su vez depende de las cantidades de la forma [math] f ^ 3 – 3fg ^ 2 [/ math] o [math] 3f ^ 2g – g ^ 2 [/ math] es un cuadrado (si la fórmula vinculada genera todos esos casos), pero en ese punto me quedo atascado.

Answer 2

Hay infinitas soluciones enteras para [matemáticas] x ^ 3 = y ^ 2 + z ^ 5 [/ matemáticas].

Por ejemplo, let [math] (x, y, z) = \ left (k ^ {10} 2 ^ 7, k ^ {15} 2 ^ {10}, k ^ 6 2 ^ 4 \ right) [/ math] para cualquier [math] k \ in \ mathbb Z [/ math].

Lo anterior es un caso especial de (let [math] p = q = 1 [/ math]):

[matemáticas] (x, y, z) = \ left (k ^ {10} \ left (p ^ 2 + q ^ 5 \ right) ^ {7}, k ^ {15} p \ left (p ^ 2 + q ^ 5 \ right) ^ {10}, k ^ {6} q \ left (p ^ 2 + q ^ 5 \ right) ^ {4} \ right) [/ math]

para todos [math] k, p, q \ in \ mathbb Z [/ math]. No estoy seguro si estos dan todas las soluciones.

En términos más generales, hay infinitas soluciones enteras para [matemáticas] x ^ a = y ^ b + z ^ c [/ matemáticas], donde [matemáticas] a, b, c \ in \ mathbb Z _ {\ ge 2} [/ math] se les dan constantes con [math] \ gcd (a, b) = \ gcd (a, c) = 1 [/ math].

Por ejemplo, let [math] (x, y, z) = \ left (k ^ {bc} 2 ^ {\ frac {bd + 1} {a}}, k ^ {ac} 2 ^ {d}, k ^ {ab} 2 ^ {\ frac {bd} {c}} \ right) [/ math],

donde [math] d \ in \ mathbb Z ^ + [/ math], [math] d \ equiv 0 \ pmod {c} [/ math] y [math] d \ equiv -b ^ {- 1} \ pmod { a} [/ matemáticas].

(ver Teorema inverso multiplicativo modular y resto chino).

Nuevamente, la solución anterior es un caso especial de (let [math] p = q = 1 [/ math]):

[matemáticas] (x, y, z) = \ left (k ^ {bc} \ left (p ^ b + q ^ c \ right) ^ {\ frac {bd + 1} {a}}, k ^ {ac } p \ left (p ^ b + q ^ c \ right) ^ {d}, k ^ {ab} q \ left (p ^ b + q ^ c \ right) ^ {\ frac {bd} {c}} \ right) [/ math]