Definiciones:
Se nos dan [matemáticas] n [/ matemáticas] personas, etiquetadas [matemáticas] \ {1, …, n \} [/ matemáticas]. Deseamos encontrar la probabilidad de que, en un orden aleatorio de las personas [matemáticas] n [/ matemáticas], cada una de exactamente [matemáticas] k [/ matemáticas] de las personas [matemáticas] n [/ matemáticas] termine en el lugar equivalente a su etiqueta.
El ejemplo en nuestra pregunta tiene [matemáticas] n = 60 [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas].
Responder:
- ¿Cuál es el significado de la declaración: while (n! = 0)?
- ¿Por qué 49.005 * .010203040504030201 = .5?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un entero dado sea un múltiplo de 2, 3 o 5, pero no dos o tres de ellos?
- En la ecuación [matemática] a ^ x + b ^ x = k [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son enteros, para qué valores de [matemática] x [ / math] es [math] k [/ math] entero, racional, irracional, real, complejo o trascendental?
- ¿Cuántos términos diferentes hay en [matemáticas] (x ^ {13} + x ^ 7 + 1) ^ {100}? [/ Matemáticas]
En general, la probabilidad es [matemáticas] \ boxed {\ frac {1} {(nk)! K!} \ Lfloor \ frac {(nk)!} {E} + \ frac {1} {2} \ rfloor} [/ math], donde [math] \ lfloor x \ rfloor [/ math] representa el entero más grande [math] \ leq x [/ math]. Para grandes [math] n [/ math], esta expresión de probabilidad se puede aproximar por [math] \ frac {1} {ek!} [/ Math].
Para el ejemplo en nuestra pregunta, [matemáticas] \ frac {1} {(60 – 3)! 3!} \ Lfloor \ frac {(60 – 3)!} {E} + \ frac {1} {2} \ rfloor = \ boxed {\ frac {266232508925968865013333538583972766844767308040277417353115598339597800159} {4342169946951130366680064489867748800176469799595707372698337280000000000000}} \ aprox. Usando la aproximación, también obtenemos [math] \ frac {1} {3! E} \ aprox 6.13 \% [/ math].
Razonamiento:
Primero, podemos obtener el tamaño del espacio muestral: hay [math] n! [/ Math] formas de ordenar [math] n [/ math] personas. El numerador es exactamente [math] D_ {n, k} [/ math], donde [math] D_ {n, k} [/ math] son números de Rencontres. También se sabe que [math] D_ {n, k} = \ binom {n} {k} D_ {nk} [/ math], donde [math] D_ {i} [/ math] es Derangement. Esto se debe a que {la cantidad de formas de ordenar [matemática] n [/ matemática] personas para que cada una de exactamente [matemática] k [/ matemática] caiga en su propio lugar etiquetado} es igual a {el número de formas de elegir qué [matemática] k [/ matemática] las personas caerán en sus propios lugares etiquetados} [matemática] \ veces [/ matemática] {la cantidad de formas de ordenar [matemática] nk [/ matemática] personas para que ninguna de estos caen en sus propios puntos etiquetados}. Teniendo en cuenta que [math] D_i [/ math] puede calcularse como [math] \ lfloor \ frac {i!} {E} + \ frac {1} {2} \ rfloor [/ math], obtenemos el numerador [math ] \ binom {n} {k} \ lfloor \ frac {(nk)!} {e} + \ frac {1} {2} \ rfloor [/ math]. Combinando el numerador con el denominador ([math] n! [/ Math]) y simplificando, obtenemos la expresión en Answer .