En la ecuación [matemática] a ^ x + b ^ x = k [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​enteros, para qué valores de [matemática] x [ / math] es [math] k [/ math] entero, racional, irracional, real, complejo o trascendental?

La jerarquía es: Enteros [matemática] \ subseteq [/ matemática] Racionales [matemática] \ subseteq [/ matemática] Reales [matemática] \ subseteq [/ matemática] Números complejos. Cualquier número puede escribirse como un número complejo, pero esa información no es útil aquí, por lo que incluí números complejos solo si tenían una parte real e imaginaria. Del mismo modo, los irracionales y los trascendentales son un subconjunto de números reales (los transcendentales también pueden ser números complejos).

Entero x: entero o racional k (ver comentarios)

—- Ejemplo: [matemáticas] 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 35 \ text {y} 2 ^ {- 1} + 3 ^ {- 1} = \ dfrac {5} {6} [/ matemáticas]

Racional x: complejo k (podría ser entero, racional, irracional, real o complejo, todo lo cual se encuentra bajo el paraguas de números complejos)

—- Los valores negativos de a, b con x fraccional dan números complejos. Los valores positivos dan números reales.

—-Ex: [matemáticas] \ sqrt {2} + \ sqrt {3} \ rightarrow \ text {irracional, y} (-2) ^ {1/2} + 2 ^ {1/2} = \ sqrt {2 } + i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Irracional x: Trascendental, complejo k

—-Ex: [matemáticas] 2 ^ {\ sqrt {2}} \ rightarrow \ text {transcendental} [/ math]

Real x: complejo k

—-Ex: [matemáticas] \ sqrt [\ pi] {- 3} + 1 ^ {1 / \ pi} = \ número complejo [/ matemáticas]

Complejo x: Complejo k

No estoy seguro acerca de los números trascendentales: con a = b = 0 o 1, k es un número entero; incluso un número trascendental elevado a un número trascendental no se ha demostrado que sea trascendental.

En general, el tipo de valor k depende no solo del valor de x, sino también de su relación con a y b.

Lo responderé “al revés”, como usted sugiere. Tenga en cuenta que cada número entero es racional, cada racional es real y cada real es complejo. También tenga en cuenta que cada trascendental es irracional, y cada trascendental e irracional son reales (a menos que desee incluir trascendentales complejos, pero voy a evitar eso).

Si x = 0 y a = 0 o b = 0, la expresión no está definida.

Para [math] k \ in \ mathbb {Z}, [/ math] debe contener al menos uno de los siguientes:

1. [matemática] a = b = 0 [/ matemática] y [matemática] x \ not = 0 [/ matemática] (en este caso, k = 0)

2. [matemática] a = b = 1 [/ matemática] (sin restricción en x. En este caso, k = 2)

3. [math] x \ in \ mathbb {N} [/ math] (sin restricción en a o b)

4. [matemática] a = (\ pm 2) ^ n [/ matemática], b [matemática] = (\ pm 2) ^ n [/ matemática] para cualquier [matemática] n \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas] o y [matemáticas] x = \ frac {-1} {n} [/ matemáticas] (por ejemplo, [matemáticas] (- 8) ^ {\ frac {-2} {3}} + 8 ^ {\ frac { -1} {3}} = \ frac {-1} {2} + \ frac {1} {2} = 0) [/ math] En este caso k = 0 o k = 1 o k = -1.

5. [matemática] a = c ^ i [/ matemática] y [matemática] b = d ^ j [/ matemática] para algunos enteros distintos de cero [matemática] c, d, i, j [/ matemática] tal que yo sea divisible por j o j es divisible por i y [matemáticas] x = \ frac {m} {n} [/ matemáticas] donde n es cualquier número natural que divide tanto i como j ym es cualquier número natural que es coprimo con n. (por ejemplo, [matemáticas] (- 27) ^ {\ frac {2} {3}} + (64) ^ {\ frac {2} {3}} = 9 + 16 = 25. [/ matemáticas] Aquí c = – 3, d = 2, i = 3, d = 6.)

6. x = 0 y [matemática] a \ not = 0 [/ matemática] y [matemática] b \ not = 0. [/ Matemática] (en este caso, k = 2)

Para [math] k \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ mathbb {Z} [/ math] se debe cumplir uno de los siguientes:

1. [math] x \ in \ mathbb {Z}, x <0, a \ not = 0, b \ not = 0 [/ math] y [math] a \ not = 1 [/ math] o [math] b \ not = 1 [/ math] y no es el caso de que [math] a = \ pm 2, b = \ pm2, x = -1. [/ math] (por ejemplo, [math] 2 ^ {- 3} + (-5) ^ {- 3} = \ frac {1} {8} + \ frac {-1} {125} [/ math])

2. [matemática] a = c ^ i [/ matemática] y [matemática] b = d ^ j [/ matemática] para algunos enteros distintos de cero [matemática] c, d, i, j [/ matemática] tal que yo sea divisible por j o j es divisible entre i y [matemáticas] x = \ frac {-m} {n} [/ matemáticas] donde n es cualquier número natural que divide tanto i como j ym es cualquier número natural que es coprimo con n , y no es el caso de que [matemáticas] c = \ pm 2, d = \ pm 2, i = j = n. [/ matemáticas] (vea el ejemplo para el número 5 en el ejemplo anterior, pero las fracciones salen invertidas) )

Para [math] k \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, [/ math] debe contener uno de los siguientes:

1. [math] x \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ mathbb {Z} [/ math], ninguno de los casos anteriores se cumple, el denominador en x es impar o si es par, a> 0 y b> 0 (en cada caso, k es irracional, y ningún otro caso da como resultado k irracional) (por ejemplo, [matemática] 2 ^ {\ frac {-2} {3}} + (- 5) ^ {\ frac {-2 } {3}} [/ matemáticas])

2. x es irracional y a> 0 y b> 0 y [matemática] a \ not = 1 [/ matemática] o [matemática] b \ not = 1 [/ matemática] (en cada caso, k es trascendental y ningún otro caso resulta en k trascendental) (p. ej., [matemática] 2 ^ \ sqrt {3} + 10 ^ \ sqrt {3} [/ matemática])

Para [math] k \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R}, [/ math] ninguno de los anteriores se mantiene (en particular, a <0 o b <0). (por ejemplo, [matemáticas] (- 5) ^ {\ frac {1} {4}} + (7) ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas])

Esa lista se volvió un poco complicada … Me alegra que hayas dicho que ayb tenían que ser enteros, al menos. Verifique mi trabajo y avíseme si he cometido un error u omitido algún caso.