¿Hay algún número entero que sea divisible por algún poder de phi?

Si “algún poder” incluye poderes irracionales, entonces sí (y cualquier número entero funcionará).

Si “alguna potencia” incluye cero, entonces sí, porque [math] \ phi ^ 0 = 1 [/ math] divide cualquier número entero.

Si “algún poder” significa algún poder entero, entonces no.

Si algún número entero [matemática] N [/ matemática] es divisible por algún poder de [matemática] \ phi [/ matemática], eso es lo mismo que decir que [matemática] X = \ frac {N} {\ phi ^ {P }} [/ math] para algún número entero [math] X [/ math] y algún número [math] P [/ math]. Reorganizando, obtenemos:

[matemáticas] \ phi ^ {P} = \ frac {X} {N} [/ matemáticas]

Si [math] \ phi ^ {P} [/ math] es racional para algunas [math] P [/ math], entonces existirían [math] X [/ math] y [math] N [/ math], que implicaría que existe alguna [matemática] N [/ matemática], por lo que es suficiente verificar si [matemática] \ phi ^ {P} [/ matemática] es racional para alguna [matemática] P [/ matemática].

Tomando el registro de ambos lados:

[matemáticas] P * log (\ phi) = log (\ frac {X} {N}) [/ math]

Si [math] P [/ math] no tiene que ser racional, elija cualquier [math] X [/ math] y cualquier [math] N [/ math] y establezca:

[matemática] P = \ frac {log (\ frac {X} {N})} {log (\ phi)} [/ math]

Entonces, si [math] P [/ math] no tiene que ser racional, la respuesta es sí, y cualquier número entero es divisible por algún poder de [math] \ phi [/ math].

Pero eso todavía no parece ser un caso suficientemente interesante, así que limitemos [math] P [/ math] a ser un número entero distinto de cero. (Si [math] P [/ math] es un racional no entero, digamos [math] \ frac {Q} {R} [/ math], entonces podrías elevar ambos lados al poder de [math] R [/ math ] y luego se pregunta si [math] \ phi ^ Q [/ math] puede ser racional, por lo que es la misma pregunta).

Si [math] \ phi ^ {n} = [/ math] [math] \ frac {a + b \ sqrt {5}} {2} [/ math] para algunos enteros [math] a [/ math], [ matemáticas] b [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ phi ^ {n + 1} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {(a + 5b) + (a + b) \ sqrt {5}} {4} [/ matemáticas].

Dado que [matemáticas] \ phi ^ {1} = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas] (es decir, [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [ / math]), luego, por inducción, para cualquier potencia entera de [math] \ phi [/ math], hay un factor creciente y distinto de cero del término [math] \ sqrt {5} [/ math], entonces [math ] \ phi ^ {P} [/ math] nunca puede ser racional para un entero [math] P> 0 [/ math]. Para [matemáticas] P <0 [/ matemáticas], hay un resultado similar, excepto que el denominador nunca es racional. [Los valores crecientes de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] deberían parecer familiares.]

Ciertamente no hay potencias enteras positivas de phi que dividan cualquier número entero. Cada potencia integral positiva de phi se puede escribir en la forma (a + b (sqrt (5))) / 2 ^ n, donde a y b son números enteros positivos. Cualquier múltiplo de este número produciría un número que todavía tiene un sqrt (5) en el numerador, lo que significa que el múltiplo no sería racional y, por lo tanto, no sería un número entero. Por lo tanto, n ^ n no divide ningún número entero para la integral positiva n. Se puede usar un argumento similar para mostrar que los poderes integrales negativos tampoco funcionan. La potencia cero divide trivialmente todos los enteros. Esto también significa que ninguna potencia racional p / q que no sea 0 puede dividir cualquier número entero. φ ^ (p / q) = (φ ^ p) ^ (1 / q) = la raíz quinta de φ ^ p. ya sabemos que φ ^ p es irracional, no se puede elevar ningún número racional a ninguna potencia integral para obtener φ ^ p, lo que significa que no hay una raíz qésimo racional de φ ^ p. Como la raíz no es racional, no puede ser un divisor de un número entero y, por lo tanto, φ ^ (p / q) no divide ningún número entero.

Si deja que el poder de phi sea cualquier número real, entonces definitivamente hay un poder que divide un número entero. La función f (x) = φ ^ n es continua en todos los números reales y tiene un rango de [1, infinito) en [0, infinito). Según el teorema del valor intermedio, esa función es igual a cada entero positivo en algún punto, lo que significa que también divide todos los enteros.

¿Qué quieres que signifique tu pregunta?

Interpretado de manera más amplia, podría interpretar que su pregunta es: “¿Hay algún elemento [matemático] x [/ matemático] de algún conjunto [matemático] X [/ matemático] de números tal que un número entero [matemático] n [/ matemático] dividido por [math] \ phi [/ math] elevado a alguna potencia [math] y [/ math] es igual a [math] x [/ math]? ” Es decir, ¿hay alguna [matemática] x \ en X [/ matemática] tal que [matemática] x \ phi ^ y = n [/ matemática]?

Si seguimos esa ruta, entonces sí, cada número entero es tan divisible si elegimos [math] X = \ mathbb {R} [/ math] o [math] X = \ mathbb {C} [/ math] para cualquier real arbitrario o potencia compleja [matemáticas] y [/ matemáticas]. Eso es trivial, de hecho, para muchos valores de [math] \ phi [/ math].

Entonces quizás quisiste decir algo más específico. Supongamos que elegimos [math] X = \ mathbb {Z} [/ math], y el exponente [math] y \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math]; Entonces tenemos una pregunta. La formulación sigue siendo la misma, pero la respuesta se basa en el valor de [math] phi [/ math] en sí. Supongo que en realidad se refiere a la llamada “proporción áurea”, la mayor de las dos soluciones de [matemáticas] x ^ 2 – x – 1 = 0 [/ matemáticas], es decir [matemáticas] \ phi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas].

En primer lugar, tenga en cuenta que [math] \ phi [/ math] es un número algebraico irracional. Pero, ¿hay algún poder de [math] \ phi [/ math] tal que los términos irracionales se cancelen o cuadren para que para algún número entero positivo [math] y [/ math] tengamos que [math] \ phi ^ y \ in \ mathbb {Z} [/ math]?

Considere escribir ese poder en su totalidad:

[matemáticas] \ phi ^ y = \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {5}} {2} \ right) ^ y [/ math].

(Excluyo [matemática] y = 0 [/ matemática] por razones obviamente triviales).

Expanda el binomio anterior y vea qué sucede. Todos los poderes pares cuadran la parte irracional, pero todos los poderes impares permanecen, por lo que pueden reducirse a un poder de cinco veces la raíz cuadrada de cinco veces el coeficiente binomial y un poder de la mitad. Dado que el binomio tiene una ventaja en el medio, no hay posibilidad de cancelación (no es que sirva de mucho de todos modos).

Por lo tanto, cada potencia (entera) de [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] es irracional (excepto [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]; vea si puede encontrar alguna diferencia para el caso de que [matemáticas] y <0 [ /matemáticas]). ¿Qué concluyes de esto?