Si “algún poder” incluye poderes irracionales, entonces sí (y cualquier número entero funcionará).
Si “alguna potencia” incluye cero, entonces sí, porque [math] \ phi ^ 0 = 1 [/ math] divide cualquier número entero.
Si “algún poder” significa algún poder entero, entonces no.
Si algún número entero [matemática] N [/ matemática] es divisible por algún poder de [matemática] \ phi [/ matemática], eso es lo mismo que decir que [matemática] X = \ frac {N} {\ phi ^ {P }} [/ math] para algún número entero [math] X [/ math] y algún número [math] P [/ math]. Reorganizando, obtenemos:
- Si [math] \ frac {a ^ 2} {b + c} = \ frac {b ^ 2} {c + a} = \ frac {c ^ 2} {a + b} [/ math] entonces pruebe que [ matemáticas] \ frac {1} {1 + a} + \ frac {1} {1 + b} + \ frac {1} {1 + c} = 1 [/ matemáticas]?
- Dado el tercer término, el tercer último término y la suma de un AP, ¿cuál será el primer término, la diferencia común y el número de términos de la progresión?
- Cuando [math] x ^ 4 – 2x ^ 3 + x ^ 2 [/ math] se divide por [math] x ^ 2 + 1 [/ math], ¿cuál es el resto?
- ¿Cuáles son las soluciones integrales para la ecuación m ^ k = m! + k! ¿Donde myk son enteros positivos?
- Teoría de números: ¿cómo encuentro todos los números reales [matemática] r [/ matemática] de modo que [matemática] n ^ r [/ matemática] sea un número entero para todos los enteros positivos [matemática] n [/ matemática]?
[matemáticas] \ phi ^ {P} = \ frac {X} {N} [/ matemáticas]
Si [math] \ phi ^ {P} [/ math] es racional para algunas [math] P [/ math], entonces existirían [math] X [/ math] y [math] N [/ math], que implicaría que existe alguna [matemática] N [/ matemática], por lo que es suficiente verificar si [matemática] \ phi ^ {P} [/ matemática] es racional para alguna [matemática] P [/ matemática].
Tomando el registro de ambos lados:
[matemáticas] P * log (\ phi) = log (\ frac {X} {N}) [/ math]
Si [math] P [/ math] no tiene que ser racional, elija cualquier [math] X [/ math] y cualquier [math] N [/ math] y establezca:
[matemática] P = \ frac {log (\ frac {X} {N})} {log (\ phi)} [/ math]
Entonces, si [math] P [/ math] no tiene que ser racional, la respuesta es sí, y cualquier número entero es divisible por algún poder de [math] \ phi [/ math].
Pero eso todavía no parece ser un caso suficientemente interesante, así que limitemos [math] P [/ math] a ser un número entero distinto de cero. (Si [math] P [/ math] es un racional no entero, digamos [math] \ frac {Q} {R} [/ math], entonces podrías elevar ambos lados al poder de [math] R [/ math ] y luego se pregunta si [math] \ phi ^ Q [/ math] puede ser racional, por lo que es la misma pregunta).
Si [math] \ phi ^ {n} = [/ math] [math] \ frac {a + b \ sqrt {5}} {2} [/ math] para algunos enteros [math] a [/ math], [ matemáticas] b [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] \ phi ^ {n + 1} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {(a + 5b) + (a + b) \ sqrt {5}} {4} [/ matemáticas].
Dado que [matemáticas] \ phi ^ {1} = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas] (es decir, [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [ / math]), luego, por inducción, para cualquier potencia entera de [math] \ phi [/ math], hay un factor creciente y distinto de cero del término [math] \ sqrt {5} [/ math], entonces [math ] \ phi ^ {P} [/ math] nunca puede ser racional para un entero [math] P> 0 [/ math]. Para [matemáticas] P <0 [/ matemáticas], hay un resultado similar, excepto que el denominador nunca es racional. [Los valores crecientes de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] deberían parecer familiares.]