En primer lugar, sería negligente no mencionar los escritos de Terry Tao sobre este tema: limitaciones heurísticas del método circular. Sin embargo, intentaré dar una visión general un poco más laica.
Entonces, primero, una declaración general: el método de círculo es una descripción general de cómo trabajar con sumas especiales de funciones periódicas que “oscilan aleatoriamente”. Las funciones periódicas se pueden ver como funciones en un círculo, que es de donde proviene el nombre ‘método de círculo’. El método circular no es realmente un teorema; Es más una estrategia. Más sobre eso más tarde.
Mientras tanto, ¿qué tiene esto que ver con la débil conjetura de Goldbach?
Considere la función [matemática] R (n) [/ matemática] que cuenta el número de formas en que un entero [matemático] n [/ matemático] puede escribirse como la suma de tres primos. Nos gustaría mostrar que [math] R (n) \ geq 1 [/ math] si [math] n [/ math] es lo suficientemente grande (estrictamente hablando, nos gustaría [math] n \ geq 5 [/ math] , pero por ahora nos quedaremos con cualquier límite, más sobre eso más adelante).
- Si [matemática] j [/ matemática], [matemática] k [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son enteros consecutivos tales que [matemática] 0 <j <k <n [/ matemática] y [matemática ] jn = 9 [/ math], entonces, ¿cuál es / son los valores posibles de [math] k [/ math]?
- ¿Es esta una conjetura razonable? Hay una [matemática] p [/ matemática] y [matemática] p + 2 [/ matemática] entre cada [matemática] n [/ matemática] y [matemática] n ^ 2 [/ matemática].
- ¿Cuál es mayor [matemática] 0.999 … 999, o, 0.999 … 998 [/ matemática], donde los puntos [matemática] … [/ matemática] representan dígitos interminables de 9s (incluidos los dígitos aparentes)?
- ¿Por qué es [math] (n!) ^ {2} \ ge n ^ {n} [/ math]?
- Cómo resolver ‘Power with Combinatorics (HARD)’ en SPOJ
Como nos estamos acercando a este problema como teóricos de números analíticos, nos gustaría relacionar [matemáticas] R (n) [/ matemáticas] con algún tipo de función agradable y suave que podamos estudiar. Una forma de hacer esto (aunque técnicamente es una simplificación, en la práctica, hay algo de suavizado adicional que ocurre), es notar que
[matemáticas] \ displaystyle R (n) = \ int_0 ^ 1 \ sum_ {p_1, p_2, p_3 \ leq n} e ^ {2 \ pi ix (p_1 + p_2 + p_3)} e ^ {- 2 \ pi inx} dx. \ tag * {} [/ math]
(Aquí, [math] p_1, p_2, p_3 [/ math] se consideran primos implícitamente).
Para ver que este debe ser el caso, observe que si [math] p_1 + p_2 + p_3 = n [/ math], entonces
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {2 \ pi ix (p_1 + p_2 + p_3)} e ^ {- 2 \ pi inx} = e ^ 0 = 1 \ tag * {}, [/ math]
que se integra a 1 en el intervalo dado. Sin embargo, si [matemáticas] p_1 + p_2 + p_3 \ neq n [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {2 \ pi ix (p_1 + p_2 + p_3)} e ^ {- 2 \ pi inx} = e ^ {2 \ pi im} \ tag * {} [/ math]
donde [math] m [/ math] es un número entero distinto de cero. Esto se integra a 0 en el intervalo dado. De esto, concluimos que
[matemáticas] \ begin {align *} \ int_0 ^ 1 \ sum_ {p_1, p_2, p_3 \ leq n} e ^ {2 \ pi ix (p_1 + p_2 + p_3)} e ^ {- 2 \ pi inx} dx & = \ sum_ {p_1, p_2, p_3 \ leq n} \ int_0 ^ 1 e ^ {2 \ pi ix (p_1 + p_2 + p_3)} e ^ {- 2 \ pi inx} dx \\ & = \ sum_ { p_1, p_2, p_3 \ leq n} 1_ {p_1 + p_2 + p_3 = n} \\ ^ = R (n) \ end {align *}. \ tag * {} [/ math]
(Aquí, estamos usando la convención de que [matemática] 1_ {P} [/ matemática] es 1 si [matemática] P [/ matemática] es verdadera y 0 si [matemática] P [/ matemática] es falsa).
Bien, hasta ahora todo bien. En realidad, vamos a simplificar esto un poco más, al notar que la suma iterada se puede escribir de una manera más simple: es solo una suma única multiplicada por sí misma tres veces:
[matemáticas] \ displaystyle R (n) = \ int_0 ^ 1 \ left (\ sum_ {p \ leq n} e ^ {2 \ pi ixp} \ right) ^ 3 e ^ {- 2 \ pi inx} dx \ tag * {}. [/matemáticas]
Esta suma dentro del paréntesis le vamos a dar un nombre especial. Está
[matemáticas] \ displaystyle S (n, x) = \ sum_ {p \ leq n} e ^ {2 \ pi ixp} \ tag * {}. [/matemáticas]
Esta es la suma especial de funciones periódicas (específicamente, funciones exponenciales complejas) que se prometió en la introducción. Nos gustaría entender cómo se comporta esta función durante el intervalo [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas].
Si traza esta función, encontrará que oscila bastante salvajemente. (Lo haría yo mismo, pero todavía estoy esperando hasta que llegue mi nueva computadora). Sin embargo, notará que tiene picos en lugares donde [math] x [/ math] es un número racional.
Que esta pasando? Bueno, normalmente, todas las diversas contribuciones [matemáticas] e ^ {2 \ pi ixp} [/ matemáticas] más o menos se cancelan mutuamente. Sin embargo, si [matemática] x = m / n [/ matemática], entonces esto se convierte en una suma de raíces de unidad, y las diversas contribuciones ‘se alinean’. Cuanto más pequeño es el denominador [matemática] n [/ matemática], más fuerte es este efecto.
La idea de Hardy y Littlewood fue que a menudo puede hacer uso de este hecho dividiendo la integral [matemática] [0,1] [/ matemática] en los ‘arcos principales’ [matemática] \ mathfrak {M} [/ matemática ], compuesto por puntos cercanos a los racionales con pequeños denominadores, y los ‘arcos menores’ [math] \ mathfrak {m} [/ math], compuesto de todo lo demás. La idea es que la integral sobre los arcos menores debería ser más o menos insignificante en comparación con la integral sobre los arcos mayores, donde están los ‘picos’. En otras palabras, dividimos nuestra integral original de la siguiente manera:
[matemáticas] \ begin {align *} R (n) & = \ int_0 ^ 1 S (n, x) ^ 3 e ^ {- 2 \ pi inx} dx \\ & = \ int_ \ mathfrak {M} S ( n, x) ^ 3 e ^ {- 2 \ pi inx} dx + \ int_ \ mathfrak {m} S (n, x) ^ 3 e ^ {- 2 \ pi inx} dx \\ & = M (n) + E (n) \ end {align *}. \ tag * {} [/ math]
[matemática] M (n) [/ matemática] debería ser el término dominante, y [matemática] E (n) [/ matemática] debería ser el término de error, que es más pequeño.
Ahora, por supuesto, no especifiqué exactamente lo que quise decir con “cercano a los racionales con pequeños denominadores”; esto es algo que debe adaptarse al problema específico en el que está trabajando. De hecho, no hay garantía de que el método circular le dé resultados, por eso es un método , más que un teorema.
Afortunadamente, para el caso que nos interesa, no tenemos que ser muy exigentes. Todo lo que realmente nos importa es mostrar que hay un límite superior para [matemática] E (n) [/ matemática] que evita que sea más grande que [matemática] M (n) [/ matemática], y hay un límite inferior para [matemática] M (n) [/ matemática] de modo que es definitivamente más grande que [matemática] E (n) + 1 [/ matemática] para [matemática] n [/ matemática] suficientemente grande.
Esto fue hecho primero por Vinogradov en 1937: su prueba original no especificaba lo que [matemáticas] n [/ matemáticas] significaba suficientemente grande, pero su estudiante Borozdin demostró que [matemáticas] n \ geq 3 ^ {3 ^ {15} } [/ math] funcionaría. Sin embargo, notará que [matemáticas] 3 ^ {3 ^ {15}} [/ matemáticas] es mucho más grande que cinco.
En teoría, podría probar la débil conjetura de Goldbach comprobando que cada entero impar mayor que 5 pero menor que [matemáticas] 3 ^ {3 ^ {15}} [/ matemáticas] puede escribirse como la suma de tres números primos. En la práctica, este era un número astronómicamente tan grande que no había esperanza de lograrlo de esa manera.
Hubo más trabajo para reducir este límite en los años intermedios, pero el momento decisivo fue en 2013, cuando Harold Helfgott redujo el límite a [matemáticas] n \ geq 10 ^ {27} [/ matemáticas], ya que la débil conjetura de Goldbach ya se había verificado para [matemática] n [/ matemática] hasta [matemática] 10 ^ {30} [/ matemática] más o menos, eso lo resolvió por completo.