¿Por qué es [math] (n!) ^ {2} \ ge n ^ {n} [/ math]?

Answer 1

* Esto no es una prueba formal

Tome el registro natural de ambos lados:

[matemáticas] 2 \ ln (n!) \ geq n \ ln (n) [/ matemáticas]. Re escribir el n! parte como una suma de registros

[matemáticas] 2 (\ ln (n) + \ ln (n – 1) + \ ln (n – 2) \ cdots) = n \ ln (n) [/ matemáticas]. Toma la derivada:

[matemáticas] \ dfrac {2} {n} + \ dfrac {2} {n – 1} + \ dfrac {2} {n – 2} \ cdots = 1 + ln (n) [/ matemáticas]

Ahora, el lado izquierdo es la suma parcial de la serie armónica. Una aproximación viene dada por [math] 2 \ gamma + 2 \ ln (n) + 2 \ dfrac {1} {2n} – 2 \ dfrac {1} {12n ^ 2} [/ math]. Fuente: ¿Existe una fórmula de suma parcial para la serie armónica? El error para la aproximación es muy pequeño en comparación con ln (n), especialmente para n grande. Para estar seguro, la aproximación se trunca de modo que es una subproximación. Tenemos:

[matemáticas] 2 \ gamma + 2 \ ln (n) + 2 \ dfrac {1} {2n} – 2 \ dfrac {1} {12n ^ 2} \ geq 1 + ln (n) [/ matemáticas], que es verdadero para [math] n \ geq 2 [/ math] porque [math] \ gamma> 0.5 \ rightarrow 2 \ gamma> 1 [/ math] y porque el término polinomial es positivo.

por lo tanto, [math] (n!) ^ 2 \ text {crece más rápido que} n ^ n \ text {for} n \ geq 2 [/ math]

El caso para la igualdad es n = 1 yn = 2

Answer 2

Lema: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {r (n – r + 1)} {n} \ geq 1 \ forall r \ leq n [/ math] y [math] n, r \ in \ mathbb {N} [ /matemáticas].

Prueba: Ejecútalo a través de las siguientes transofrmaciones:

[matemáticas] rn – r (r – 1) \ geq n \ iff n (r – 1) – r (r – 1) \ geq 0 \ iff (n – r) (r – 1) \ geq 0 [/ matemáticas ], que siempre es cierto debido a nuestra elección de [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] r [/ matemáticas] y, por lo tanto, el lema es verdadero. Por lo tanto, nuestro lema está probado.

Ahora, reescribe la expresión para demostrar lo siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(n!) ^ 2} {n ^ n} = \ frac {1} {n} \ frac {2} {n}… \ frac {n} {n} (1 \ veces 2 \ times .. \ times n) = \ left (n \ frac {1} {n} \ right) \ left ((n – 1) \ frac {2} {n} \ right)… \ left (1 \ frac {n} {n} \ right) [/ math]

Como resultado de nuestro lema, todos estos términos son [math] \ geq 1 [/ math]. QED

Answer 3

Tome cualquier número natural r tal que 1 <= r <= n.

=> r / n <= 1 => r * (r – 1) / n <= r - 1

=> r – r * (r – 1) / n> = 1

=> r – r ^ 2 / n + r / n> = 1

=> (r / n) * (n – r + 1)> = 1.

Ahora, manteniendo n fijo, ponga r = 1, 2,3, .., ny multiplique todos los términos juntos.

=> (n! * n!) / n ^ n> = 1

=> (n!) ^ 2> = n ^ n.

Ahí tienes, una simple prueba de nivel de secundaria sin el uso de ninguna técnica sofisticada.

Answer 4

Vamos a utilizar la prueba por inducción.

1) Mostrar verdadero para n = 2 (De hecho [matemáticas] (2!) ^ 2 = 2 ^ 2 [/ matemáticas])

También es cierto para n = 1, pero eso importará al final.

2) Asumir verdadero para todos n> 2

3) Mostrar verdadero para n + 1.

Queremos mostrar que:

[matemáticas] \ frac {(n + 1)! ^ 2} {(n + 1) ^ {n + 1}} \ geq 1 [/ matemáticas]

Escribir el numerador como [matemáticas] (n + 1) ^ 2 (n!) ^ 2 [/ matemáticas] y el denominador como [matemáticas] (n + 1) * (1 + 1 / n) ^ n * n ^ n [ /matemáticas]

Nos quedan para mostrar:

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[matemáticas] \ frac {n + 1} {(1 + 1 / n) ^ n} \ times \ frac {(n!) ^ 2} {n ^ n} \ geq 1 [/ matemáticas]

Ahora ya el segundo producto es mayor o igual a 1 de la inducción, dejando mostrar:

[matemáticas] n + 1 \ geq (1 + 1 / n) ^ n [/ matemáticas]

Ahora usamos el hecho de que [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} ([/ math] [math] 1 + 1 / n) ^ n = e [/ math]

Para n finito, lo siguiente es verdadero [matemática] ([/ matemática] [matemática] 1 + 1 / n) ^ n \ leq e [/ matemática]

La desigualdad anterior es verdadera cuando [matemáticas] n + 1 \ geq e [/ matemáticas]

lo cual es cierto cuando [math] n> 2. [/ math]

Por lo tanto, la declaración es válida para todos los enteros [math] n \ geq 1. [/ Math]

Answer 5

Escribe [matemáticas] (n!) ^ 2 = n. (N-1)… .2.1.1.2…. (N-1) .n = (n.1). ((N-1) .2) \ ldots (1.n) [/ matemáticas]. La última expresión es un producto de los términos [math] n [/ math], por lo que es suficiente para mostrar que cada término es al menos [math] n [/ math].

Cada término tiene la forma [matemática] (nk) (k + 1) [/ matemática], donde [matemática] k = 0,1, \ ldots, n-1 [/ matemática]. Esa expresión es un polinomio cuadrático en [matemáticas] k [/ matemáticas] con raíces [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas]. Como [math] k ^ 2 [/ math] tiene un signo negativo, el cuadrático tiene un máximo en el medio de las raíces y disminuye hacia los lados. Entonces, en el intervalo de interés, el mínimo está en [matemática] k = 0 [/ matemática] o [matemática] k = n-1 [/ matemática], y en ambos casos resulta ser [matemática] n [/matemáticas]. Esto es lo que necesitábamos probar.

El argumento anterior puede parecer un poco largo; sin embargo, hace las cosas sin ninguna manipulación algebraica, haciendo un uso efectivo de la pequeña teoría que la mayoría de los estudiantes de secundaria realmente conocen.

Algunas respuestas aquí usan la misma idea de prueba, así que lo que realmente ofrezco es una presentación diferente.

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Answer 6

Para todo i, j \ geq 1 tal que i + j = n + 1 tenemos que $ i * j \ geq n \ geq 0 $.

(n!) ^ 2 = (\ prod_ {i = 1} ^ {n} i) ^ 2 (Definición de factorial)

… = (\ Prod_ {i = 1} ^ {n} i) (\ prod_ {i = 1} ^ {10} i) (Definición del cuadrado)

… = (\ Prod_ {i = 1} ^ {n} i) (\ prod_ {i = 1} ^ {10} (n + 1 – i)) (Cambio de índice)

… = (\ Prod_ {i = 1} ^ {n} i * (n + 1 – i)) (Axioma de notación de producto)

… \ Geq (\ prod_ {j = 1} ^ {n} n) (de (1))

… = N ^ n (Axioma de notación de producto)

Answer 7

La inducción proporciona soluciones ordenadas, pero el siguiente argumento intuitivo también puede ser útil.

En cuanto al factorial al cuadrado, los factores pueden verse como dos listas de n a 1. Invierta el orden de una de estas listas y combine en parejas con la primera para que tenga [1 * n] * [2 * (n-1 )] *… * [(K) * (n-k + 1)] *… * [n * 1]. Hay n de estos factores combinados, cada uno de los cuales es mayor que n, por lo que su producto es mayor que n ** n. El truco intuitivo es ver que cada uno de estos factores combinados k * (n-k + 1) puede considerarse como el área de un rectángulo con ancho k y altura n-k + 1, cuya circunferencia es, por lo tanto, 2 * [k + n – k + 1] = 2n + 2. De los rectángulos con esa circunferencia, los que tienen las áreas más altas son aquellos que equilibran el ancho y la altura uniformemente, y el que tiene el área más baja para la circunferencia dada es el caso n * 1 . Por lo tanto, el área más baja que puede tener un rectángulo es n.

Answer 8

Deje [math] A_n = (n!) ^ 2, B_n = n ^ n [/ math].
Tenga en cuenta que [matemáticas] A_1 = 1 = B_1, A_2 = 4 = B_2 [/ matemáticas].
Probemos usando la inducción que para [matemáticas] n> = 1: A_n \ geq B_n [/ matemáticas]
Demostremos que [math] \ forall n \ geq 2: (n + 1) ^ 2> \ frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n} [/ math].
Esto es cierto porque [matemáticas] \ frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n} = (n + 1) (1+ \ frac {1} {n}) ^ n \ leq ( n + 1) e <3 (n + 1) \ leq (n + 1) ^ 2 [/ matemática]
Finalmente [matemáticas] A_ {n + 1} = (n + 1) ^ 2 A_n> \ frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ n} B_n = B_ {n + 1} [/ matemáticas] qed.