Cómo determinar todos los triples (p, m, n) donde p es primo y m y n son enteros no negativos que satisfacen la ecuación: (p ^ m) -n ^ 3 = 27

Answer 1

Afirmamos que la única solución en pares enteros no negativos [matemática] m, n [/ matemática] y primo [matemática] p [/ matemática] es [matemática] 3 ^ 3–0 ^ 3 = 27 [/ matemática] .

---

Tenga en cuenta que

[matemáticas] p ^ m = n ^ 3 + 3 ^ 3 = (n + 3) (n ^ 2–3n + 9) [/ matemáticas]. … ([Matemáticas] \ estrella [/ matemáticas])

Cualquier divisor primo de [matemática] n + 3 [/ matemática] y [matemática] n ^ 2–3n + 9 = (n + 3) (n-6) +27 [/ matemática] también debe dividir [matemática] 27 [/matemáticas]. Como [math] p [/ math] es el único divisor primo común, [math] p = 3 [/ math].

De la ec. ([matemáticas] \ estrella [/ matemáticas]) tenemos

[matemáticas] n + 3 = 3 ^ a [/ matemáticas], [matemáticas] n ^ 2–3n + 9 = (n + 3) ^ 2–9 (n + 3) +27 = 3 ^ b [/ matemáticas] … [Matemáticas] (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas]

para algunos enteros positivos [matemáticas] a, b [/ matemáticas].

[matemáticas] 3 ^ {2a} – 9 \ cdot 3 ^ a + 27 = 3 ^ b. [/matemáticas]

o

[matemáticas] 3 ^ {2a-3} – 3 ^ {a-1} + 1 = 3 ^ {b-3} [/ matemáticas]… [matemáticas] (\ estrella \ estrella \ estrella) [/ matemáticas]

si [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas].

Pero luego el LHS de eqn. ([math] \ star \ star \ star [/ math]) no es un múltiplo de [math] 3 [/ math] mientras que el RHS de eqn. ([math] \ star \ star \ star [/ math]) es.

Concluimos que [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] n = 3 ^ a-3 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] m = 3 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

La forma estándar sería la siguiente: [matemáticas] \ {\ langle p, m, n \ rangle | p, m, n \ in \ {0,1,2, \ ldots \}, p \ text {is prime} , p ^ mn ^ 3 = 27 \} [/ matemáticas].

Eso es. Ya sabes, la notación teórica establecida es bastante sencilla.

Answer 3

Agregue n ^ 3 a ambos lados y escriba 27 como 3 ^ 3. Ahora puede factorizar el lado derecho:

n ^ 3 + 3 ^ 3 = (n + 3) * (n ^ 2 – 3 * n + 3 ^ 2).

Esto debe ser un poder de primer orden. ¡Puedes tomarlo desde aquí!