¿Sabemos si hay una [matemática] \ aleph_ {0.5} [/ matemática] entre [matemática] \ aleph_0 [/ matemática] y [matemática] \ aleph_1 [/ matemática]? ¿Por qué?

Answer 1

Solo para aclarar la terminología, [math] \ aleph_0 [/ math] se define como la cardinalidad de N, el conjunto de números naturales. [math] \ aleph_1 [/ math] se define como la menor cardinalidad de un conjunto cuya cardinalidad es mayor que [math] \ aleph_0. [/ math] Entonces, por definición, no puede haber un conjunto cuya cardinalidad esté entre [math] \ aleph_0 [/ math] y [math] \ aleph_1. [/ math]

Hace unas décadas, se demostró que la teoría de conjuntos estándar, llamada ZFC Set Theory, no puede probar ni refutar la existencia de un orden de infinito entre [math] \ aleph_0 [/ math] y [math] {2} ^ {\ aleph_0} [/ math].

(Los símbolos [math] {2} ^ {\ aleph_0} [/ math] se refieren al conjunto de potencia de los números naturales).

La afirmación de que no hay un orden de infinito entre [matemáticas] \ aleph_0 [/ matemáticas] y [matemáticas] {2} ^ {\ aleph_0} [/ matemáticas] se llama Hipótesis Continua.

Por lo tanto, la teoría de conjuntos se mantendrá consistente si agregamos la hipótesis del continuo como un axioma. Y seguirá siendo consistente si agregamos la negación de la hipótesis del continuo como un axioma.

Parece bastante extraño, ¿no?

Answer 2

No lo hay, porque [math] \ aleph_1 [/ math] se define como el cardenal más pequeño mayor que [math] \ aleph_0 [/ math]. Tenga en cuenta que los números aleph [math] \ aleph_0 [/ math] y [math] \ aleph_1 [/ math] son ​​cardinales, no ordinales.

(No confunda esta pregunta con la hipótesis de continuo indecidible, que trata sobre los cardenales entre [matemáticas] \ aleph_0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemáticas], no [matemáticas] \ aleph_0 [/ matemáticas ] y [math] \ aleph_1 [/ math]. Si CH es verdadero, entonces [math] \ aleph_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math], pero si no, [math] \ aleph_1 <2 ^ {\ aleph_0} [/ math].)