¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + \ cdots + 99 ^ 5 + 100 ^ 5 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]?

Answer 1

La respuesta es 0

Tenga en cuenta que todos los términos pares como [matemáticas] 2 ^ 5 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 ^ 5 [/ matemáticas] son ​​divisibles por 4, por lo que el resto es 0

para términos impares, se pueden expresar en forma [matemática] (4n + 1) ^ 5 [/ matemática] como [matemática] 1 ^ 5 [/ matemática], [matemática] 5 ^ 5 [/ matemática] …… .. o [matemática] (4n + 3) ^ 5 [/ matemática] como [matemática] 3 [/ matemática] [matemática] ^ 5 [/ matemática], [matemática] 7 [/ matemática] [matemática] ^ 5 [/ matemática ]… ..

Ahora el resto cuando los términos en forma [matemática] (4n + 1) ^ 5 [/ matemática] como [matemática] 1 ^ 5 [/ matemática], [matemática] 5 ^ 5 [/ matemática] etc. se dividen entre 4 1)

Del mismo modo, el resto cuando los términos en forma [matemática] (4n + 3) ^ 5 [/ matemática] como [matemática] 3 [/ matemática] [matemática] ^ 5 [/ matemática], [matemática] 7 [/ matemática] [matemática] ^ 5 [/ matemáticas] etc. se dividen entre 4 serían 3.

Tenga en cuenta que tenemos 25 términos en forma [matemáticas] (4n + 1) ^ 5 [/ matemáticas] y 25 términos en forma [matemáticas] (4n + 3) ^ 5 [/ matemáticas] por lo que el resto final sería

(25 * 1 + 25 * 3) mod 4

= 100 mod 4

= 0

Answer 2

Una vez que observa la secuencia, debe darse cuenta de que (mod 4) es repetitiva. Es decir;

[matemáticas] (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + 4 ^ 5) (mod 4) = (5 ^ 5 + 6 ^ 5 + 7 ^ 5 + 8 ^ 5) (mod 4) [/ matemáticas]

Entonces, si encontramos qué es [matemáticas] (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + 4 ^ 5) (mod 4) [/ matemáticas], simplemente podemos multiplicarlo por 25 para obtener el resultado final.

[matemáticas] 1 ^ 5 (mod 4) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 5 (mod 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 5 (mod 4) = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 5 (mod 4) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + 4 ^ 5) (mod 4) = 0 [/ matemática] que hace la respuesta también [matemática] 0. [/ Matemática]

Answer 3

Dividamos el divisor en 25 clubes con 4 términos en cada parte, tales como:

[matemáticas] [(1 ^ 5) + (2 ^ 5) + (3 ^ 5) + (4 ^ 5)] + [(5 ^ 5) + (6 ^ 5) + (7 ^ 5) + (8 ^ 5)] + ………. + [(97 ^ 5) + (98 ^ 5) + (99 ^ 5) + (100 ^ 5)] [/ matemáticas]

Ahora, revisemos el resto de cada uno de estos 25 clubes.

[matemáticas] R [\ frac {(1 ^ 5) + (2 ^ 5) + (3 ^ 5) + (4 ^ 5)} {4}] [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

= [matemáticas] R [\ frac {(1 ^ 5) + (2 ^ 5) + ((-1) ^ 5) + (2 ^ {10})} {(2 ^ 2)}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ frac {1 + 0 + (-1) + 0} {4}] [/ matemáticas]

= [matemáticas] R [\ frac {0} {4}] [/ matemáticas]

= 0

Del mismo modo, [matemáticas] R [\ frac {(5 ^ 5) + (6 ^ 5) + (7 ^ 5) + (8 ^ 5)} {4}] [/ matemáticas]

= [matemáticas] R [\ frac {(1 ^ 5) + (2 ^ 5) \ times (3 ^ 5) + ((-1) ^ 5) + (2 ^ {15})} {4}] [ /matemáticas]

[matemáticas] = R [\ frac {1 + 0 + (-1) + 0} {4}] [/ matemáticas]

= [matemáticas] R [\ frac {0} {4}] [/ matemáticas]

= 0

Entonces, podemos ver que el resto de cada club es 0.

Entonces, el resto final se puede calcular como:

[matemáticas] R [\ frac {[(1 ^ 5) + (2 ^ 5) + (3 ^ 5) +… + (99 ^ 5) + (100 ^ 5)]} {4}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ frac {25 \ veces 0} {4}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] 0 ( Respuesta )

Notas al pie:

1. TEOREMA BINOMIAL por Sarthak Dash en RESTANTES
2. TEOREMA BÁSICO DEL RESTANTE por Sarthak Dash en RESTANTES

Answer 4

[matemáticas] 0 [/ matemáticas]

Otros ya han escrito buenas explicaciones. Intentaré dar un nuevo método.

Mire la serie, cada número tiene la forma [matemática] 4n, 4n + 1,4n + 2, 4n + 3 [/ matemática].

Ahora, todos los números de la forma [matemáticas] 4n ^ 5, {(4n + 2)} ^ 5 [/ matemáticas] son ​​divisibles por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]. Puedes ver eso fácilmente. Ahora solo nos quedan los números de la forma [matemática] 4n + 1,4n + 3 [/ matemática]

Recuerda esta identidad,

[math] (a ^ m + b ^ m) [/ math] siempre es divisible por [math] (a + b) [/ math] cuando [math] m [/ math] es impar. Aquí [matemática] m = 5 [/ matemática] que es impar.

Puede deducir fácilmente de esto [matemáticas] (4n + 1) ^ 5 + (4n + 3) ^ 5 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 4n + 1 + 4n + 3 = 4 * (2n + 1) = 4k. [/ Matemáticas]

Es decir, la suma es un múltiplo de [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y, por lo tanto, es divisible por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]

Es por eso que [matemática] 1 ^ 5 + 3 ^ 5, 5 ^ 5 + 7 ^ 5 [/ matemática] etc. serán divisibles por [matemática] 4 [/ matemática] o un múltiplo de [matemática] 4. [/matemáticas]

Simplemente continúe con este enfoque. No es necesario calcular la quinta potencia ni el uso de ninguna técnica de búsqueda de residuos.

Ahora, puede obtener fácilmente que el resto será [math] 0. [/ Math]

Espero que ayude. 🙂

Answer 5

Use la fórmula [matemática] \ sum _0 ^ nk ^ 5 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 \ left (2 n ^ 2 + 2 n-1 \ right)} {12} [/ math].

Vamos a conectar [matemáticas] 100 [/ matemáticas].

Obtenemos: [matemática] \ frac {100 ^ 2 (100 + 1) ^ 2 \ izquierda (2 * 100 ^ 2 + 2 * 100-1 \ derecha)} {12} [/ matemática].

Está claro que la expresión es divisible por [matemática] 4 [/ matemática] como [matemática] \ frac {100 ^ 2} {12} [/ matemática] es divisible por [matemática] 4 [/ matemática].

Por lo tanto, el resto es [matemática] 0 [/ matemática].

Answer 6

Solo necesitamos encontrar el resto para los primeros 4 términos, el resto es una secuencia repetitiva. Te diré por qué más tarde.

Para los primeros cuatro términos, tenemos, (1 + 32 + 243 + 0), suma de los módulos respectivos.

Eso es 276 módulo 4 = 0.

Para 5 ^ 5 tenemos (4 + 1) ^ 5 o múltiplo de 4 + 1 ^ 5.

Para 6 ^ 5 tenemos (4 + 2) ^ 5 o múltiplo de 4 + 2 ^ 5

… Entonces el resto es una secuencia repetitiva.

Hay 25 de esas 4 tuplas (1 ^ 5,2 ^ 5,3 ^ 5, 4 ^ 5).

Entonces, respuesta requerida = 25 * 0 = 0

Answer 7

[matemáticas] \ sum _k ^ nk ^ 5 = \ frac {1} {12} n ^ 2 (n + 1) ^ 2 \ left (2 n ^ 2 + 2 n-1 \ right) = \ frac {n ^ 6} {6} + \ frac {n ^ 5} {2} + \ frac {5 n ^ 4} {12} – \ frac {n ^ 2} {12} [/ matemáticas]

para n = 100, suma = 171708332500, el recordatorio es 0

Answer 8

Ya hay [matemáticas] 20 [/ matemáticas] respuestas a esto, por lo que no estoy seguro de tener algo significativo que agregar. También hay un número igual de seguidores, y dos solicitudes para que responda esto. Permítanme generalizar esto un poco y dar una respuesta breve.

Reclamación.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N n ^ k \ equiv \ begin {cases} 0 \ pmod {4}, y N \ equiv 0 \: \ text {o} \: 3 \ pmod {4 }; \\ 1 \ pmod {4}, & N \ equiv 1 \: \ text {o} \: 2 \ pmod {4}. \ end {cases} [/ math]

para cualquier número entero impar [matemáticas] k> 1 [/ matemáticas].

Prueba. Para cualquier entero impar positivo [matemática] k [/ matemática], [matemática] (a + b) \ mid (a ^ k + b ^ k) [/ matemática]. Para [matemática] k> 1 [/ matemática], [matemática] 4 \ mid (2n) ^ k [/ matemática]. Entonces, para enteros impares [matemática] k> 1 [/ matemática] y cuando [matemática] 4 \ mid N [/ matemática], tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N n ^ k \ equiv \ displaystyle \ sum _ {\ substack {1 \ le n \ le N \\ n \: \ text {impar}}} n ^ k \ pmod {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {m = 0} ^ {(N-4) / 4} \ Big ((4m + 1) ^ k + (4m + 3) ^ k \ Big) \ pmod {4} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 0 \ pmod {4} [/ matemáticas].

Esto prueba la afirmación de [math] n \ equiv 0 \ pmod {4} [/ math]. Los otros tres casos siguen fácilmente agregando sucesivamente [matemáticas] 1 ^ k [/ matemáticas], [matemáticas] 1 ^ k + 2 ^ k [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 ^ k + 2 ^ k + 3 ^ k [/ math], cada módulo [math] 4 [/ math].

Cuando [math] N = 100 [/ math], el resto es [math] 0 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 9

La suma es en realidad divisible por 100. Solo observe que

[matemáticas] a ^ 5 + b ^ 5 = (a + b) (a ^ 4 – a ^ 3 b + a ^ 2 b ^ 2 – ab ^ 3 + b ^ 4). [/ matemáticas]

Ahora podemos escribir

[matemáticas] \ begin {align *} & 1 ^ 5 + 2 ^ 5 + \ dotso + (99) ^ 5 + (100) ^ 5 \\ & = (100) ^ 5 + (50) ^ 5 + \ sum_ {i = 1} ^ {49} [i ^ 5 + (100 – i) ^ 5] \\ & = (100) ^ 5 + (50) ^ 5 + \ sum_ {i = 1} ^ {49} 100 \ veces [i ^ 4 – i ^ 3 (100-i) + i ^ 2 (100-i) ^ 2 – i (100 – i) ^ 3 + (100-i) ^ 4]. \ end {align * } [/matemáticas]

Claramente cada uno de los términos es un múltiplo de 100.

Answer 10

Creo que puedo presentar una forma hermosa de resolver este …

Considere la representación de todos los números como [matemática] 2k, 2k + 1 [/ matemática], es decir, números pares e impares … ahora considere el resto del cuadrado de los números pares e impares en el mod 4

[matemáticas] (2k) ^ 2 = 4k ^ 2 \ equiv 0 \ pmod {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] (2k + 1) ^ 2 = 4k ^ 2 + 4k + 1 \ equiv 1 \ pmod {4} [/ matemáticas]

Entonces, el cuadrado de cada número par mod 4 es [matemática] 0 [/ matemática] y el cuadrado de cada número impar mod 4 es [matemática] 1 [/ matemática], pero podemos llevar eso aún más lejos.

[matemáticas] (2k + 1) ^ 5 = ((2k + 1) ^ 2) ^ 2 × (2k + 1) \ equiv 2k + 1 \ pmod {4} [/ matemáticas]

Entonces, el resto de cualquier número impar a la potencia de 5 mod 4 es el número impar en sí, esto convierte la suma dada en la suma de todos los números impares hasta [matemática] 99 [/ matemática], también se sabe que el la suma de los primeros números impares [matemática] n [/ matemática] es [matemática] n ^ 2 [/ matemática], y podemos calcular fácilmente que [matemática] 99 [/ matemática] es la [matemática] 50 ^ {th} [/ math] número impar, por lo que la suma [math] S [/ math] es igual a ..

[matemáticas] S = 50 ^ 2 = 2 ^ 2 × 5 ^ 4 = 4 × 5 ^ 4 \ equiv 0 \ pmod {4} [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y WolframAlpha confirma

Answer 11

Como cada número [matemático] (2k) ^ 5 \ equiv 0 \ mod 4 [/ matemático] uno solo tiene que mirar la suma de los números impares a la potencia de [matemático] 5 [/ matemático]. Ahora observa que

[matemáticas] 1 \ equiv 1 \ mod 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ equiv -1 \ mod 4 \ Rightarrow 3 ^ 5 \ equiv -1 \ mod 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 \ equiv 1 \ mod 4 \ Rightarrow 5 ^ 5 \ equiv 1 \ mod 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

y obtienes un patrón: [matemática] 1, -1,1, -1, \ cdots [/ matemática], las sumas parciales con un número par de sumandos impares tiene resto [matemática] 0 \ mod 4 [/ matemática].

Como la última suma impar es [matemática] 99 \ equiv -1 \ mod \ Rightarrow 99 ^ 5 \ equiv -1 \ mod 4 [/ matemática] el resto de la suma total es obviamente [matemática] 0 [/ matemática] módulo [ matemáticas] 4 [/ matemáticas].

Answer 12

Divide la suma en 4 grupos de números.

[matemáticas] 1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + 4 ^ 5 \ equiv (1 + 0 + 3 + 0) \ equiv 0 \ mod 4. [/ matemáticas]

Ahora de [math] 5 [/ math] [math] ^ 5 + \ dots [/ math] obtendremos restos positivos.

[matemáticas] 5 ^ 5 + 6 ^ 5 + 7 ^ 5 + 8 ^ 5 \ equiv 1 + 0 + 3 + 0 \ equiv 0 \ mod 4. [/ matemáticas]

¿La serie continúa?

[matemáticas] a ^ 4 = a ^ 2 × a ^ 2 \ equiv 0,1,0,1 \ mod 4. [/ matemáticas]

[matemática] (1,0,1) × a \ equiv 3,1,0 \ mod 4. [/ matemática]

No 2 porque un número que difiere por 2 cuando se multiplica 4 veces obtiene el resto 0.

Ahora [math] (4a + 2) ^ 4 \ equiv 0 \ mod 4. \ implica (4a + 2) ^ 5 \ equiv 0 × (4a + 2) = 0 \ mod 4. [/ Math]

Entonces, la secuencia continúa para el resto, por lo tanto, podemos concluir que los 25 grupos de 4 números cuando se dividen entre 4 dan 0 y el resto total es 0. [matemática] ■ [/ matemática]

Answer 13

Todas excelentes respuestas, pero me gustaría proponer otro método para encontrar la respuesta.

Lo primero que debe hacer es notar que todos los números pares se pueden escribir como [matemática] 2k [/ matemática] y [matemática] (2k) ^ 5 = (2 ^ 5) (k ^ 5) = 4 (2 ^ 3 ) (k ^ 5) [/ math], lo que significa que todos los números pares serán divisibles por 4, por lo que no cambiarán el resto, y solo necesitamos considerar los números impares.

Un buen teorema que aprendí a principios de este verano se llama Teorema de Euler (lo sé, hay tantos). Este teorema es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y dice que para dos números primos relativamente [math] a [/ math] y [math] b [/ math], hay un número denotado [math] ϕ (b) [ / math] (esta es la función Totient) tal que [math] (a ^ ϕ (b)) modb = (1) modb [/ math]. Es difícil explicar la fórmula para [matemáticas] ϕ (b) [/ matemáticas] sin ecuaciones, y no sé cómo usar subíndices en esta computadora, así que toma mi palabra que [matemáticas] ϕ (4) = 2 [ /matemáticas]. También agregaré un enlace a la fórmula a continuación (dato curioso: la función Totient también es el número de números más pequeños que by relativamente primo a b (es por eso que todo esto funciona)).

Debido a que todos los números impares son relativamente primos a 4, sabemos que se aplica el teorema de Euler, y todos los números impares en la ecuación [matemáticas] ((2k + 1) ^ 5) mod4 = ((2k + 1) ((2k + 1) ^ 2) ^ 2) mod4 = (2k + 1) mod4 [/ matemática]. Esto significa que la suma se convierte en 1 + 3 + 5 +… + 99, que es la suma de los primeros 50 números impares. Como la suma de los primeros n números impares es n ^ 2, esta suma es 50 ^ 2, que es divisible por 4, y por lo tanto la suma [matemática] 1 ^ 5 + 2 ^ 5 +… + 99 ^ 5 + 100 ^ 5 [/ math] tiene resto cero cuando se divide por 4.

Enlace a la función totient: función totient de Euler – Wikipedia

Answer 14

1 ^ 5% 4 = 1

2 ^ 5% 4-0

3 ^ 5% 4-3

4 ^ 5% 4-0

5 ^ 5% 4-1

6 ^ 5% 4-0

7 ^ 5% 4-3

¿Puedes ver un patrón que viene …

(1 + 0 + 3 + 0) esto se repetirá 25 veces …

= 100% 4 = 0

La respuesta es cero …

Answer 15

¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + \ cdots + 99 ^ 5 + 100 ^ 5 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]?

¿Cuál es el resto cuando [matemática] 1 ^ 5 + 2 ^ 5 +… + 100 ^ 5 [/ matemática] se divide por [matemática] 4 [/ matemática]?

Answer 16

a ^ 5 + b ^ 5 = ( a + b ) ( a ^ 4 – a ^ 3 * b + a ^ 2 * b ^ 2 – a * b ^ 3 + b ^ 4)

La factorización anterior nos ayuda a resolver el problema fácilmente.

combinemos números cuya suma sume 100.

Ejemplo: (1,99) (2,98)… .. (49,51)

1 ^ 5 + 99 ^ 5 tiene un factor 100 que hace que el resto sea cero cuando se divide por 4.

2 ^ 5 + 98 ^ 5 tiene un factor 100 que hace que el resto sea cero cuando se divide por 4.

en el mismo se pueden hacer todos los números.

solo quedarán 100 ^ 5, que cuando se divide por 100 da el resto cero.

entonces el resto es cero cuando se divide por 4.

Answer 17

★★ Método 1: Método sin teorema

LD≡ Último 2Digito de número

① LD {1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + 4 ^ 5 + 5 ^ 5 + …… 10 ^ 5} = LD {1 + 32 + 43 + 24 + 25 + 76 + 7 + 68 +

49 + 0} = LD {3250}

= 50

②LD (10a + b) ^ 5 = b ^ 5

③LD {1 ^ 5 + 2 ^ 5 + …… 100 ^ 5} = LD (10 * 50) = LD (500) = 00

RESTANTE = 0

★★ FLT: a ^ (n + 1) ≡1 mod n

^a ^ 5≡1 mod4

^ R ^ 5 = n = 100≡ 0mod4

Answer 18

Tenemos que verificar solo los términos impares: 1 ^ 5 + 3 ^ 5 + 5 ^ 5 + …… + 99 ^ 5 porque todos los términos pares son divisibles por 4.

Cuando n es impar, a ^ n + b ^ n es divisible por (a + b). Además, la suma de dos números impares siempre es divisible por 4 ((2n-1) + (2n + 1) = 4n). Tienes 25 de esos pares.

Por lo tanto, la expresión dada es divisible por 4.

Answer 19

[matemáticas] 1 ^ 5 \ equiv 1 \ espacio (mod \ espacio 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 5 \ equiv 0 \ espacio (mod \ espacio 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 5 \ equiv (-1) ^ 5 \ equiv -1 \ space (mod \ space 4) [/ math]

[matemáticas] 4 ^ 5 \ equiv 0 \ espacio (mod \ espacio 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4n +1) ^ 5 \ equiv 1 ^ 5 \ espacio (mod \ espacio 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4n + 2) ^ 5 \ equiv 2 ^ 5 \ espacio (mod \ espacio 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] (4n + 3) ^ 5 \ equiv 3 ^ 5 \ space (mod \ space 4) [/ math]

[matemáticas] (4n + 4) ^ 5 \ equiv (4n) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ space (mod \ space 4) [/ math]

la suma de cada conjunto de [matemática] 4 [/ matemática] consecutiva (es decir, [matemática] 4n + 1 [/ matemática], [matemática] 4n + 2 [/ matemática], [matemática] 4n + 3 [/ matemática], [matemáticas] 4n + 4 [/ matemáticas]) es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]

comenzando con [math] n = 0 [/ math] y yendo a [math] n = 24 [/ math], se hace la pregunta, por lo que cada uno de los [math] 25 [/ math] tiene una suma de [matemáticas] 0 [/ matemáticas], por lo que la suma total es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]

más sobre modificaciones: Arte de resolución de problemas

…

Answer 20

Podemos usar binomial aquí. Podemos c que todos los términos pares son divisibles por 4. Por lo tanto, solo tenemos que calcular la suma de los términos impares que r de la forma 2n-1 donde n corre de 1 a 50.

Suma de (2n-1) ^ 5 … en estos términos 5C0, 5C1, 5C2 y 5C3 también son divisibles por 4 ya que todos tienen un factor común 4. Entonces ahora solo tenemos que calcular los términos 5C4 y 5C5, que es 12750 después usando algunos trucos, nuevamente el no. es divisible por 4. Por lo tanto, el resto es 0.