¿Cómo demuestro que, para todos [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 1/2 + (1/2) ^ {(1/2)} + (2/3) ^ {(1 / 3)} + (3/4) ^ {(1/4)} +… + ((n-1) / n) ^ {(1 / n)} <\ frac {n ^ 2} {(n + 1 )}[/matemáticas]

Answer 1

Para una prueba, la velocidad es importante y transmitir que conoces varios principios es importante. Entonces, no estás buscando una gran teoría. Primero, ingrese algunos números que estén cerca, para que pueda tener una idea del problema. Cada uno de los términos es menor que uno y se siguen acercando a uno a medida que n aumenta. Por lo tanto, simplifique enormemente el problema reemplazando todos los n términos en el lado izquierdo con uno. Entonces, ahora en lugar de intentar probar

[matemáticas] 1/2 + (\ frac {1} {2}) ^ {\ frac {1} {2}} +… + (\ frac {(n-1} {n} ^ {\ frac {1} {n}} <\ frac {n ^ 2} {n + 1} [/ matemáticas]

estás tratando de demostrar

[matemáticas] n <\ frac {n ^ 2} {(n + 1)} [/ matemáticas]

Esto no es cierto, porque cuando multiplicas ambos lados por [matemática] n + 1 [/ matemática], obtienes [matemática] n ^ 2 + n <n ^ 2 [/ matemática]. Pero eso está muy cerca.

Si pudieras reducir el LHS a (n-1), entonces solo tendrías que demostrar [matemáticas] n-1 <\ frac {n ^ 2} {(n + 1)} [/ matemáticas] que es fácil: multiplica ambos lados por [matemática] n + 1 [/ matemática] y obtienes [matemática] n ^ 2-1 <n ^ 2 [/ matemática]. Entonces, regresas e intentas afeitarte algo. Tenga en cuenta que los dos primeros términos suman alrededor de 0.500 + 0.707 = 1.207, por lo que está a solo .207 de su objetivo. Si se le permite una calculadora, puede calcular los primeros cinco términos (0.500, 0.707, 0.874, 0.931, 0.956) y tenga en cuenta que suman poco menos de 4, por lo que para todos los términos posteriores, la suma debe ser menor que n- 1) Luego, solo verifica los primeros cuatro términos:

[matemática] 1/2 + \ frac {1} {2} ^ {\ frac {1} {2}} <\ frac {4} {3} [/ matemática]

[matemáticas] 1/2 + \ frac {1} {2} ^ {\ frac {1} {2}} + \ frac {2} {3} ^ {\ frac {1} {3}} <\ frac { 9} {4} [/ matemáticas]

[matemática] 1/2 + \ frac {1} {2} ^ {\ frac {1} {2}} + \ frac {2} {3} ^ {\ frac {1} {3}} + \ frac { 3} {4} ^ {\ frac {1} {4}} <\ frac {16} {5} [/ matemáticas]

No es bonito, pero es una prueba.

Answer 2

Lema: Tenemos para [matemáticas] k \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1- \ frac {1} {k}) ^ {\ frac {1} {k}} \ leq 1- \ frac {1} {k ^ 2} [/ matemáticas]

prueba: utilizamos la desigualdad AM-GM

[matemáticas] k (\ frac {k-1} {k}) ^ {\ frac {1} {k}} = [/ matemáticas] [matemáticas] k (\ frac {k-1} {k} \ cdot 1 \ cdot 1….) ^ {\ frac {1} {k}} = \ frac {k-1} {k} + \ frac {1} {k} + \ frac {1} {k} +…. = \ frac {k ^ 2-1} {k} [/ math]

entonces ,

[matemáticas] (\ frac {k-1} {k}) ^ {\ frac {1} {k}} \ leq 1- \ frac {1} {k ^ 2}. [/ matemáticas]

Ahora es solo la solución de Gram Zeppi.

Answer 3

Gracias por el A2A, Gregor.

Deje que [matemáticas] S = 1/2 + (1/2) ^ {(1/2)} + (2/3) ^ {(1/3)} + (3/4) ^ {(1/4) } +… + ((N-1) / n) ^ {(1 / n)}. [/matemáticas]

Usaría la desigualdad de Bernoulli (el caso [math] 0 \ le r \ leq 1 [/ math]).

Por él tenemos [matemáticas] \ left (1- \ dfrac1 {k} \ right) ^ {\ frac1 {k}} \ le 1 – \ dfrac {1} {k ^ 2}. [/ Math]

Por lo tanto, usando esto y [math] \ dfrac {1} {k ^ 2} \ gt \ dfrac {1} {k (k + 1)} [/ math] (+ la suma telescópica) obtenemos: [math] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S \ leq \ dfrac1 {2} + \ sum_ {k = 2} ^ {n} \ left (1 – \ dfrac1 {k ^ 2} \ right) \ lt [/ math] [math] \ displaystyle \ dfrac1 {2} + (n-1) – \ sum_ {k = 2} ^ {n} \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac1 {2} + n-1 + \ dfrac1 {n + 1} – \ dfrac1 {2} = \ dfrac {n ^ 2} {n + 1}. [/ math]

Answer 4

La expresión es menor que n * ((n-1) / n) ^ (1 / n) y esto es menor que

n * (n / (n + 1)) ^ (1 / n)

<((n + 1) n -1)) / (n + 1)