-A2A-
- Método 1: usar álgebra
Sea [math] p (x) [/ math] un polinomio de grado n tal que
[matemáticas] p (x) \ = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_ {n-2} x ^ {n-2} + \ cdots + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 [/ matemáticas] ———- (A)
Diferenciando la ecuación anterior:
- ¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 11 ^ {35} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 13 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál podría ser el valor de m si 2x ^ m + x ^ 3-3x ^ 2-26 deja un resto de 226 cuando se divide por x-2?
- ¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + \ cdots + 99 ^ 5 + 100 ^ 5 [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 4 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo demuestro que, para todos [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 1/2 + (1/2) ^ {(1/2)} + (2/3) ^ {(1 / 3)} + (3/4) ^ {(1/4)} +… + ((n-1) / n) ^ {(1 / n)} <\ frac {n ^ 2} {(n + 1 )}[/matemáticas]
- Cómo determinar todos los triples (p, m, n) donde p es primo y m y n son enteros no negativos que satisfacen la ecuación: (p ^ m) -n ^ 3 = 27
[matemáticas] p ‘(x) \ = na_nx ^ {n-1} + (n-1) a_ {n-1} x ^ {n-2} + (n-2) a_ {n-2} x ^ {n-3} + \ cdots + 2a_2x + a_1 [/ math] ———– (B)
Realizando (A) – (B)
[matemáticas] a_nx ^ n + (a_ {n-1} – na_n) x ^ {n-1} + (a_ {n-2} – (n-1) a_ {n-1}) x ^ {n- 2} + \ cdots + (a_1 – 2a_2) x + a_0 – a_1 \ = x ^ n [/ math]
Al comparar los coeficientes de los coeficientes correspondientes de x de ambos lados:
[matemáticas] a_n \ = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {n-1} \ = na_n \ = n \ = \ frac {n!} {(n-1)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {n-2} \ = (n-1) a_ {n-1} \ = n (n-1) \ = \ frac {n!} {(n-2)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {n-3} \ = (n-2) a_ {n-2} \ = n (n-1) (n-2) \ = \ frac {n!} {(n-3)! }[/matemáticas]
[matemáticas] a_ {n-4} \ = (n-3) a_ {n-3} \ = n (n-1) (n-2) (n-3) \ = \ frac {n!} {( n-4)!} [/ matemáticas]
Similar,
[matemáticas] a_3 \ = 4a_4 \ = n (n-1) (n-2) \ cdots 6 * 5 * 4 \ = \ frac {n!} {3!} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_2 \ = 3a_3 \ = n (n-1) (n-2) \ cdots 6 * 5 * 4 * 3 \ = \ frac {n!} {2!} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_1 \ = 2a_2 \ = n (n-1) (n-2) \ cdots 6 * 5 * 4 * 3 * 2 \ = \ frac {n!} {1!} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_0 \ = 1a_1 \ = n (n-1) (n-2) \ cdots 3 * 2 * 1 \ = n! [/ matemáticas]
[math] p (0) [/ math] es el término constante en el polinomio [math] \ Rightarrow a_0 \ = n! [/ math]
Por lo tanto, [math] \ boxed {p (0) \ = a_n \ = n!} [/ Math]
- Método 2: uso del cálculo
Deje [math] y = p (x) [/ math].
La ecuación diferencial dada se puede expresar como:
[matemáticas] y – \ frac {dy} {dx} \ = x ^ n [/ matemáticas]
o [matemáticas] \ frac {dy} {dx} – y \ = – x ^ n [/ matemáticas]
Es una ecuación diferencial lineal de la forma [matemáticas] \ frac {dy} {dx} + P (x) y \ = Q (x) [/ matemáticas]
Factor integrador = [matemáticas] e ^ {\ int P (x) \ dx} \ = e ^ {\ int (-1) \ dx} \ = e ^ {- x} [/ matemáticas]
Espero que esté familiarizado con las ecuaciones diferenciales lineales y el método para resolverlas. En caso de que no esté familiarizado con esto, puede visitar el enlace: CBSE Clase 12 Matemáticas Notas: Ecuaciones diferenciales
Multiplicando el factor integrador a lo largo de la ecuación diferencial, obtenemos:
[matemáticas] e ^ {- x} \ frac {dy} {dx} – ye ^ {- x} \ = -x ^ ne ^ {- x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {dx} (ye ^ {- x}) \ = -x ^ ne ^ {- x} [/ matemáticas]
Integrando ambos lados:
[matemáticas] ye ^ {- x} \ = \ int x ^ n (-e ^ {- x}) \ dx [/ matemáticas]
—————————————————————————————————–
Deje I = [matemáticas] \ int x ^ n (-e ^ {- x}) \ dx [/ matemáticas]
Podemos integrar mediante el método de integración por partes.
[matemáticas] u = x ^ n [/ matemáticas] [matemáticas] du = nx ^ {n-1} \ dx [/ matemáticas]
[matemáticas] dv \ = – e ^ {- x} \ dx [/ matemáticas] [matemáticas] v \ = e ^ {- x} [/ matemáticas]
I = [matemáticas] uv – \ int v \ du [/ matemáticas]
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} – \ int e ^ {- x} * nx ^ {n-1} \ dx \ = x ^ ne ^ {- x} + n \ int x ^ {n -1} * (- e ^ {- x}) \ dx [/ math]
Una vez más, necesitamos usar la integración por partes.
[matemáticas] u = x ^ {n-1} [/ matemáticas] [matemáticas] du = (n-1) x ^ {n-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] dv \ = – e ^ {- x} \ dx [/ matemáticas] [matemáticas] v = e ^ {- x} [/ matemáticas]
Entonces, I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + n \ left [x ^ {n-1} e ^ {- x} – \ int e ^ {- x} * (n-1) x ^ {n-2} \ dx \ right] [/ math]
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + n \ izquierda [x ^ {n-1} e ^ {- x} – (n-1) \ int x ^ {n-2} e ^ {- x} \ dx \ right] [/ math]
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} – n (n-1) \ int x ^ {n-2} e ^ {- x} \ dx [/ math]
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} + n (n-1) \ int x ^ {n-2} * (- e ^ {- x}) \ dx [/ math]
Podemos notar que la integración anterior es un bucle de n veces y eso significa que tendremos que seguir haciendo la integración n veces. ¡Esa es una tarea de montaña!
Sin embargo, hay un patrón que puede usarse para escribir la expresión después de la enésima integración. ¿Puedes escribir la expresión después de la tercera integración?
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} + (n-1) x ^ {n-2} e ^ {- x} + n (n -1) (n-2) \ int x ^ {n-3} * (- e ^ {- x}) \ dx [/ math]
Si entendió el patrón, puede escribir la expresión después de la integración (n-1) como:
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} + (n-1) x ^ {n-2} e ^ {- x} + (n- 2) x ^ {n-3} e {-x} + \ cdots + 3x ^ 2e ^ {- x} + 2x ^ {1} e ^ {- x} + n (n-1) (n-2) \ cdots 3 * 2 * 1 \ int (-e ^ {- x}) \ dx [/ math]
I = [matemáticas] x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} + (n-1) x ^ {n-2} e ^ {- x} + (n- 2) x ^ {n-3} e {-x} + \ cdots + 3x ^ 2e ^ {- x} + 2x ^ {1} e ^ {- x} + n (n-1) (n-2) \ cdots 3 * 2 * 1 e ^ {- x} + C [/ matemáticas]
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Por lo tanto, [matemáticas] ye ^ {- x} \ = x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} + (n-1) x ^ {n-2} e ^ {-x} + (n-2) x ^ {n-3} e {-x} + \ cdots + 3x ^ 2e ^ {- x} + 2x ^ {1} e ^ {- x} + n (n -1) (n-2) \ cdots 3 * 2 * 1 e ^ {- x} + C [/ math]
[matemáticas] ye ^ {- x} \ = x ^ ne ^ {- x} + nx ^ {n-1} e ^ {- x} + (n-1) x ^ {n-2} e ^ {- x} + (n-2) x ^ {n-3} e {-x} + \ cdots + 3x ^ 2e ^ {- x} + 2x ^ {1} e ^ {- x} + n! * e ^ {- x} + C [/ matemáticas]
[matemáticas] y \ = p (x) \ = x ^ n + nx ^ {n-1} + n (n-1) x ^ {n-2} + n (n-1) (n-2) x ^ {n-3} + \ cdots + 3x ^ 2 + 2x + n! + Ce ^ x [/ matemáticas]
Claramente, el polinomio [math] y \ = p (x) [/ math] no puede contener un término exponencial, C debe ser [math] 0 [/ math].
Entonces, [matemáticas] y \ = p (x) \ = x ^ n + nx ^ {n-1} + n (n-1) x ^ {n-2} + n (n-1) (n-2 ) x ^ {n-3} + \ cdots + 3x ^ 2 + 2x + n! [/ math]
Enchufe x = 0
[matemáticas] y (0) \ = 0 + n! [/ matemáticas]
Entonces, [math] \ boxed {y \ = p (0) \ = n!} [/ Math]
¡Espero que ayude!