De todos los teoremas que conoce un gran matemático, ¿cuántos saben cómo demostrar?

Answer 1

Solo unos pocos teoremas importantes tienen pruebas realmente difíciles que la mayoría de los matemáticos desconocen e incluso los mejores no pueden resolver por sí mismos cuando escuchan el resultado declarado. Estos son algunos de los más importantes, cada uno de los cuales tardó décadas en resolverse.

• Teorema de la curva de Jordan: cada curva cerrada simple en un plano la divide en dos regiones, dentro y fuera. Trivial para polígonos, no es difícil para curvas diferenciables. bastante duro en el caso general.
• Teorema de 4 colores, que involucra miles de casos particulares, verificado por computadora.
• Clasificación de grupos simples finitos, originalmente en un conjunto de pruebas de más de 3.000 páginas.
• Teorema de Taniyama-Shimura, la base para la prueba del último teorema de Fermat: cada curva elíptica es modular y viceversa.
• Conjetura de Poincaré en múltiples homeomorfas a 3 esferas.

Dos de los que realmente esperamos, de una forma u otra, son la Hipótesis de Riemann, que ha resistido un siglo y medio de esfuerzo, y P = NP.

Answer 2

Esto realmente depende de lo bueno que sea el matemático: los matemáticos verdaderamente buenos conocen bastante bien muchas pruebas. Es sorprendente cuánto conocimiento concreto de un conjunto de pruebas duras puede mejorar a un matemático.

Aquí hay un punto: leer y estudiar pruebas te ayuda a encontrar los pies en nuevas situaciones, por lo que una vez que eres lo suficientemente fuerte, a veces puedes probar resultados difíciles de otros sin siquiera tener que leer sus pruebas. A veces, es suficiente saber que una pregunta fue interesante y la respuesta es X.

En el camino de convertirse en grande, por supuesto, uno todavía necesita mucha creatividad, perspicacia y dureza. Podemos llamar a estas cosas “las semillas de la grandeza”. Sin embargo, hay otras semillas, y leer mucho y con cuidado es una de ellas (por lo general, dicha lectura estaría motivada persiguiendo un hilo de investigación o de curiosidad). Los grandes matemáticos conocen su campo y también bastante sobre áreas relacionadas.

Answer 3

Cualquier matemático competente sabrá demostrar (al menos en resumen) todos los teoremas importantes en su área de especialización. Lo que hace a un gran matemático en lugar de ser simplemente competente es tener competencia en muchas ramas de las matemáticas y poder establecer conexiones útiles entre ellas.

Aparte de esto, hay muchos teoremas que son de conocimiento común. Para algunos de estos, las pruebas son igualmente conocidas (por ejemplo, la infinitud de los números primos). Para otros, no se espera que nadie sepa la prueba (por ejemplo, el teorema de los cuatro colores). Y luego hay casos intermedios, donde el conocimiento de un matemático de la prueba probablemente depende de qué tan buena memoria tenga para el material que se cubrió en cursos de pregrado o posgrado (por ejemplo, el teorema de Pitágoras).

Answer 4

¡El 100% de las pruebas que un matemático sabe que un matemático puede probar! ¿Por qué? Un matemático profesional usaría las palabras “conocer una prueba” de manera diferente que un laico casual. Para un matemático, “conocer” una prueba certifica “He internalizado la esencia de”, o como diría Heinlein, “I Grok”. Las matemáticas son una aventura, no un idioma. Las pruebas son los puntos culminantes inolvidables de la aventura.

Una analogía: un viajero del mundo solo diría “Conozco el Serengeti” si realmente hubiera visitado el Serengeti. Una papa de entrenador usaría saber como en ” sí, escuché el nombre una vez”. ¡Están muy diferentes los estándares y el orgullo profesional!

Answer 5

El matemático VI Arnold dijo algo como “Las pruebas son para las matemáticas como la ortografía es para la poesía”. Es perfectamente posible ser un buen poeta sin saber cómo se escriben las palabras (Homero puede haber sido un ejemplo). Pero cuanto mejor puedas deletrear, más palabras probablemente sabrás y saber más palabras probablemente te ayudará a hacer mejores poemas y probablemente te ayudará a que otros los lean. Lo mismo con los matemáticos. Cuantas más pruebas conozca, más matemáticas probablemente sabrá y conocer más pruebas probablemente le ayudará a mejorar las matemáticas, y probablemente lo ayudará a que otros lean sus matemáticas. Pero ni la ortografía ni las pruebas son de lo que se trata realmente la poesía o las matemáticas.