En una ecuación con dos salidas (como la función inversa de una parábola), ¿hay alguna manera de especificar en la ecuación que la salida correcta debería ser el valor más bajo?

Answer 1

Si. Si hay una solución más pequeña para uno de estos ‘inversos’, podemos tomar el elemento más pequeño de la imagen previa de una función. En particular, la imagen previa de una función [matemática] f: D \ a R [/ matemática] (donde esta notación significa que la función [matemática] f [/ matemática] asigna elementos del conjunto [matemática] D [/ matemática] al conjunto [matemática] R [/ matemática]) se define como

[matemáticas]
f ^ {- 1} (x) = \ {y \, | \, f (y) = x \}.
[/matemáticas]

Escrito, esto es “La imagen previa de la función [matemática] f [/ matemática] en [matemática] x [/ matemática] es el conjunto de valores [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] f (y ) [/ math] es igual a [math] x [/ math], “o, alternativamente, es el conjunto tal que, cuando aplicamos la función [math] f [/ math] a cada uno de sus elementos, recibimos la salida [matemáticas] x [/ matemáticas]. Si busca la solución más pequeña, entonces podemos llamar a este conjunto de preimagen [matemática] S = f ^ {- 1} (x) [/ matemática] y elegir el elemento más bajo (si es que existe un valor tan bajo elemento) de esta [matemática] S [/ matemática]. Escrito, esto podría verse algo así, para un pequeño [math] q [/ math]

[matemáticas]
q = \ inf S = \ inf f ^ {- 1} (x).
[/matemáticas]

Donde [math] \ inf S [/ math] es el elemento más grande [math] q [/ math] de modo que [math] q [/ math] siempre es menor o igual que cada elemento en [math] S [/ math ] Esta definición, nuevamente, requiere que haya un elemento más pequeño (porque de lo contrario no podemos garantizar que [math] q [/ math] sea una solución a la ecuación inversa dada).

Answer 2

Más generalmente, supongamos que tenemos una función [matemática] f: X \ rightarrow Y [/ matemática]. Luego definimos [math] \ forall y \ en f (X) [/ math] la ‘preimagen’ formalmente por:

[matemáticas] f ^ {- 1} (y) = \ {x \ en X | f (x) = y \} [/ matemáticas]. Este es un conjunto.

Si ahora imponemos [math] X = \ mathbb {R} [/ math] (por lo que tenemos un pedido sabiendo qué es ‘más pequeño’ o ‘más grande’), para responder a su pregunta es exactamente:
[matemáticas] x ^ * = \ min_ {x \ en f ^ {- 1} (y)} x [/ matemáticas]

Por ejemplo, supongamos que simplemente elegimos [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática] y supongamos que queremos inversa para 9, tenemos el siguiente conjunto:
[matemáticas] f ^ {- 1} (9) = \ {3, -3 \} [/ matemáticas]
Entonces tenemos
[matemáticas] x ^ * = \ min_ {x \ in f ^ {- 1} (9)} x = \ min_ {x \ in \ {3, -3 \}} x = -3 [/ matemáticas]

Answer 3

Seguro. Siempre y cuando deje en claro, en texto o símbolos, cuál es el valor de la función para cada valor de los argumentos.

Eso se puede hacer en texto, como “Deje que el valor de la función f para el argumento x sea ​​la raíz más pequeña y (real) de la ecuación [matemáticas] (y ^ 2 + x ^ 2) ^ 2 = x ^ 2-y ^ 2 [/ math] “, suponiendo que la curva que está viendo es https://en.wikipedia.org/wiki/Le …