¿Cómo encontrar el cambio aproximado usando el cálculo diferencial?

Answer 1

Bueno, el cálculo se inventó específicamente para responder a problemas como ese, por lo que su pregunta parece un poco extraña.

Pero, en este caso específico, aquí hay un método:

Busca la ecuación para una línea que pasa por el punto [matemática] (3/2, 9/4) [/ matemática]. El único parámetro desconocido para la línea es la pendiente, [matemática] a [/ matemática], por lo que la ecuación general para la línea tangente es
[matemáticas] y = \ frac {9} {4} + a \ cdot \ left (x – \ frac {3} {2} \ right) [/ math]

Ahora, la tangente toca la parábola [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] en un solo punto. Entonces podemos reformular el problema a lo siguiente:
Cuál debe ser el valor de [math] a [/ math], de modo que la línea y la parábola tengan exactamente un punto de intersección. En otras palabras:
La ecuacion
[matemáticas] x ^ 2 = \ frac {9} {4} + a \ cdot \ left (x – \ frac {3} {2} \ right) [/ matemáticas]
debe tener exactamente una raíz en [math] x [/ math].

Mover términos al lado izquierdo y expandir da la siguiente ecuación:
[matemáticas] x ^ 2 – hacha + \ izquierda (\ frac {3} {2} a – \ frac {9} {4} \ derecha) = 0 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación cuadrática, y queremos un valor para [math] a [/ math], de modo que esta ecuación tenga exactamente una raíz real.

El discriminante determina el número de raíces en una ecuación cuadrática: si el discriminante es cero, entonces hay exactamente una raíz real.
El discriminante lo calculamos como:
[matemática] d = a ^ 2 – 4 \ izquierda (\ frac {3} {2} a – \ frac {9} {4} \ derecha) [/ matemática]
[matemáticas] = a ^ 2 – 6a + 9 [/ matemáticas]

Entonces, ahora queremos un valor para [math] a [/ math], de modo que este discriminante sea cero. En otras palabras, queremos resolver la ecuación:
[matemáticas] a ^ 2 – 6a + 9 = 0 [/ matemáticas]
Esto es fácil y la solución es [matemática] a = 3 [/ matemática].

Entonces, nuestra conclusión es: cuando la pendiente de la línea es exactamente 3, entonces la línea solo tiene una intersección con la parábola, y por lo tanto debe ser una tangente.

La ecuación de la tangente por lo tanto es:
[matemáticas] y = \ frac {9} {4} + 3 \ cdot \ left (x – \ frac {3} {2} \ right) [/ math]

Answer 2

Ni siquiera está claro cómo define una línea tangente sin cálculo, por lo que, en cierto sentido, la pregunta no tiene sentido.

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Podría usar una formulación puramente algebraica de la línea tangente, es decir, que tiene contacto de segundo grado con la parábola en lugar de primer orden, pero esa no es una definición particularmente satisfactoria, ya que realmente se necesita una comprensión del cálculo para motivarlo en el primer lugar.

Sin embargo, sigamos adelante y hagámoslo. La parábola se corta por

[matemáticas] y – x ^ 2 = 0, [/ matemáticas]

entonces restrinja la función [math] y – x ^ 2 [/ math] a la línea [math] y – \ frac {9} {4} = m \ left (x – \ frac {3} {2} \ right) [/matemáticas]. En términos de x, entonces, podemos escribirlo como

[matemáticas] \ frac {9} {4} + m \ left (x – \ frac {3} {2} \ right) – x ^ 2, [/ math]

o, expandiéndose,

[matemáticas] – x ^ 2 + mx + \ izquierda (\ frac {9} {4} – \ frac {3} {2} m \ derecha). [/ matemáticas]

Sabemos que esto tiene una raíz en x = 3/2 para cualquier valor de m , por lo que si tiene una raíz doble, entonces tiene una raíz doble allí. Por supuesto, un cuadrático tiene una raíz doble si y solo si es discriminante

[matemática] m ^ 2 – 4 (-1) \ left (\ frac {9} {4} – \ frac {3} {2} m \ right) = m ^ 2 – 6m + 9 = (m-3) ^ 2 [/ matemáticas]

se desvanece Esto sucede para m = 3, entonces

[matemáticas] y – \ frac {9} {4} = 3 \ izquierda (x – \ frac {3} {2} \ derecha). [/ matemáticas]

es la única línea que tiene contacto de segundo orden con la parábola en x = 3/2 .

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Alternativamente, podría usar su idea intuitiva de lo que es una línea tangente y su conocimiento de cómo se ve una parábola para decir que la línea tangente debe ser la línea única que atraviesa el punto y se encuentra completamente debajo de la parábola, es decir, para que no hay punto [math] (x_0, y_0) [/ math] en la línea con [math] y_0 – x_0 ^ 2> 0 [/ math]. (Esto está en línea con la definición de Euclides de tangentes a círculos, que según él son líneas que se encuentran , pero no cortan , el círculo).

Hagamos el cálculo de esa manera. Como antes, considere una línea

[matemática] y – \ frac {9} {4} = m \ izquierda (x – \ frac {3} {2} \ derecha) [/ matemática]

Preguntamos si hay un punto [math] (x_0, y_0) [/ math] en esta línea con [math] y_0 – x_0 ^ 2> 0 [/ math]. Es decir, ¿podemos encontrar una solución para

[matemáticas] \ frac {9} {4} + m \ izquierda (x – \ frac {3} {2} \ derecha) – x_0 ^ 2> 0 [/ matemáticas]

para un valor dado de m ? Reescribamos esto:

[matemáticas] x_0 ^ 2 – m x_0 <\ frac {9} {4} - \ frac {3} {2} m. [/ matemáticas]

Completando el cuadrado en x ,

[matemáticas] x_0 ^ 2 – m x_0 + \ frac {1} {4} m ^ 2 <\ frac {9} {4} - \ frac {3} {2} m + \ frac {1} {4} m ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x_0- \ frac {1} {2} m) ^ 2 <\ frac {1} {4} m ^ 2 - \ frac {3} {2} m + \ frac {9} {4} [ /matemáticas]

Reescribiendo esto,

[matemáticas] (x_0- \ frac {1} {2} m) ^ 2 <\ frac {1} {4} (m-3) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora, si m = 3, el RHS es cero, y es imposible que el cuadrado de un número real sea menor que cero. Por lo tanto la línea

[matemáticas] y – \ frac {9} {4} = 3 \ izquierda (x – \ frac {3} {2} \ derecha). [/ matemáticas]

cumple, pero no corta, la parábola en x = 3/2 .

Answer 3

La ecuación de la recta tangente requerida

[matemáticas] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y-2 = m (x-4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = m (x-4) +2 [/ matemáticas]

Sustituyendo esto en la ecuación de la hipérbola

[matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 – \ {m (x-4) +2 \} ^ 2 = 12 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica x ^ 2 – \ {m ^ 2 (x-4) ^ 2 + 4m (x-4) +4 \} – 12 = 0 [/ matemática]

[matemática] \ implica (1-m ^ 2) x ^ 2 + 4m (2m-1) x-16 (m ^ 2 + m + 1) = 0 [/ matemática]

Necesitamos [math] b ^ 2–4ac = 0 [/ math], ya que una tangente toca una curva solo una vez.

[matemática] \ implica 16m ^ 2 (2m-1) ^ 2 + 64 (1-m ^ 2) (m ^ 2 + m + 1) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica m ^ 2 (2m-1) ^ 2 + 4 (1-m ^ 2) (m ^ 2 + m + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m ^ 2–4m + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (m-2) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = 2 [/ matemáticas]

Ecuación de tangente:

[matemáticas] y = 2 (x-4) +2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = 2x-6 [/ matemáticas]

Answer 4

Para que la línea [matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas] sea una tangente a una parábola, debe intersectarse exactamente en un punto.

Para encontrar todas las soluciones de [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] y = mx + c [/ matemática] podemos establecer ambas iguales entre sí, es decir, resolver [matemática] x ^ 2 = mx + c [/ matemática] o [matemática] x ^ 2-m xc = 0 [/ matemática]. Usando la fórmula cuadrática
[matemática] x = \ frac {m \ pm \ sqrt {m ^ 2 + 4c}} {2} [/ matemática] Habrá dos soluciones si [matemática] m ^ 2 + 4c> 0 [/ matemática], una solución si [matemática] m ^ 2 + 4c = 0 [/ matemática], y ninguna solución si [matemática] m ^ 2 + 4c <0 [/ matemática]. Queremos solo una solución, entonces [math] m ^ 2 + 4c = 0 [/ math].

El otro requisito es que la línea haya pasado (3 / 2,9 / 4). Ponga los valores en la ecuación para la línea [matemáticas] 9/4 = m * 3/2 + c [/ matemáticas]. Esto ahora nos da dos ecuaciones simultáneas. Lo que puedes resolver.

Answer 5

Una parábola se puede describir como el lugar geométrico del punto [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] que es equidistante de un punto llamado foco y una línea recta llamada directriz . En el caso de la parábola [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas], el foco está en [matemáticas] (0, \ frac {1} {4}) [/ matemáticas] y la directriz es la línea horizontal [ matemáticas] y = – \ frac {1} {4} [/ matemáticas].

Esto significa, por ejemplo, que la distancia desde el punto [matemática] (2,4) [/ matemática] en la curva [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] hasta el punto [matemática] (0, \ frac {1} {4}) [/ math] es lo mismo que la distancia desde [math] (2,4) [/ math] a la línea [math] y = – \ frac {1} {4} [/ math ], o de manera equivalente, el punto [matemáticas] (2, – \ frac {1} {4}) [/ matemáticas].

Si tomamos este ejemplo más adelante, la bisectriz perpendicular de la línea que conecta [matemática] (0, \ frac {1} {4}) [/ matemática] y [matemática] (2, – \ frac {1} {4}) [/ math] debe pasar por el punto [math] (2,4) [/ math]. No solo eso, sino que esta bisectriz perpendicular resulta ser la tangente de la parábola que pasa por [matemáticas] (2,4) [/ matemáticas].

Por lo tanto, aplicamos este conocimiento al punto [matemáticas] (\ frac {3} {2}, \ frac {9} {4}) [/ matemáticas] al decir que la tangente a través de [matemáticas] (\ frac {3} {2}, \ frac {9} {4}) [/ math] es la línea que pasa por este punto y el punto medio de la línea que pasa por los puntos [math] (0, \ frac {1} {4}) [ / math] y [math] (\ frac {3} {2}, – \ frac {1} {4}) [/ math]. Este punto medio tiene coordenadas [matemáticas] \ left (\ frac {1} {2} (0+ \ frac {3} {2}), \ frac {1} {2} (\ frac {1} {4} – \ frac {1} {4}) \ right) = (\ frac {3} {4}, 0) [/ math].

Por lo tanto, el gradiente de la tangente a través de [matemáticas] (\ frac {3} {2}, \ frac {9} {4}) [/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {\ frac {9} {4} – 0} {\ frac {3} {2} – \ frac {3} {4}} = 3 [/ matemáticas]. Entonces, la ecuación de la tangente se encuentra por la fórmula habitual [matemáticas] y-y_1 = m (x-x_1) [/ matemáticas]:

[matemáticas] y- \ frac {9} {4} = 3 (x- \ frac {3} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] y- \ frac {9} {4} = 3x- \ frac {9} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = 3x- \ frac {9} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] 4y = 12x-9 [/ matemáticas]
[matemáticas] 12x-4y-9 = 0 [/ matemáticas]

Answer 6

deje que cualquier punto sea (x1, y1) y una parábola arbitraria sea y = ax ^ 2 + bx + c
dividir la ecuación parabólica de esta manera: (y + y) / 2 = axx + b (x + x) / 2 + c
luego sustituya el punto anterior en la ecuación anterior como esta
(y + y1) / 2 = ax1x + b (x + x1) / 2 + c – (1)
Si (x1, y1) es un punto fuera de la parábola, entonces la ecuación (1) es el acorde de contacto de las tangentes extraídas del punto (x1, y1).
Si (x1, y1) es un punto en la parábola, entonces la ecuación (1) es la tangente de la parábola en (x1, y1).
Lo anterior se puede probar sin usar cálculo. Como la pregunta solo pregunta cómo hacerlo, la prueba se omite aquí.
ya que (3/2, 9/4) es un punto en la parábola y = x ^ 2
la tangente es (y + 9/4) / 2 = 3x / 2
o simplificado, 4y = 12x – 9

Answer 7

Aquí hay un muy buen artículo sobre esta pregunta.
Página en maa.org

En esencia, definen la línea tangente como una línea que proporciona la mejor aproximación lineal de una curva en un punto.

Dada una línea L que pasa por un punto P = (a, f (a)), L es una línea tangente a la gráfica en P si se proporciona cualquier otra línea K que pase por P, existe un número δ> 0 tal que

| f (x) – L (x) | <| f (x) - K (x) | para todo a - δ