La ventaja de la solución Schwarzschild es que tiene mucha simetría. Entonces, al usar estas simetrías, podemos obtener la ecuación general para los caminos de la geodésica sin siquiera mirar ese complicado sistema de EDO (bueno, miento, en realidad lo miras, ¡pero solo un vistazo!)
En la base de coordenadas, tenemos para el campo tangente a la curva: [math] U ^ {\ mu} = \ dot {x} ^ {\ mu} [/ math]
Gracias a la simetría de reflexión de paridad, podemos restringir al caso [math] \ theta = \ frac {\ pi} {2} [/ math] sin pérdida de generalidad.
Para las geodésicas temporales, utilizamos el tiempo apropiado como parámetro; para geodésicas nulas, algunos parámetros afines. Ahora solo escribimos el producto interno para el campo tangente:
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[matemáticas] -k = g_ {ab} U ^ {a} U ^ {b} = – (1-2M / r) \ dot {t} ^ {2} + (1-2M / r) ^ {- 1 } \ dot {r} ^ {2} + r ^ {2} \ dot {\ varphi} ^ {2} [/ math]
donde k = 0 para curvas nulas y k = 1 para curvas temporales. Hasta ahora, no hemos usado la condición de que las curvas sean geodésicas. Y ahora viene la magia y la belleza de las simetrías. Necesitamos introducir el concepto de un campo vectorial de Killing . No voy a pasar por las definiciones. Lo que debe notar es que los componentes de la métrica de Schwarzschild, cuando se expresan en coordenadas de Schwarzschild, no dependen de la coordenada t ni de la coordenada [math] \ varphi [/ math]. Esto implica que los campos vectoriales [matemáticas] \ xi = \ frac {\ partial} {\ partial t} [/ matemática] y [matemática] \ psi = \ frac {\ parcial} {\ parcial \ varphi} [/ matemática] son campos de matanza.
Usando la ecuación geodésica, se puede mostrar muy fácilmente (y sin siquiera tener que expresarla en forma de coordenadas) que, solo para la geodésica , se conservan las siguientes cantidades:
[matemáticas] E = -g_ {ab} \ xi ^ {a} U ^ {b} = (1-2M / r) \ dot {t} [/ matemáticas] y [matemáticas] L = g_ {ab} \ psi ^ {a} U ^ {b} = r ^ {2} \ dot {\ varphi} [/ math]
Interpretamos E como la energía total de la partícula en la geodésica de acuerdo con un observador estático en el infinito. Interpretamos L como el momento angular de la partícula en la geodésica (en ambos casos, es por unidad de masa en reposo y para el caso nulo hay que multiplicar por [math] \ hbar [/ math] para interpretarlos como la energía y momento angular de un fotón). Estas son cantidades conservadas para geodésicas.
Combinando todo esto con la ecuación anterior para el producto interno, llegamos a la forma general de la ecuación geodésica:
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ dot {r} ^ {2} + \ left [\ frac {1} {2} k-kM / r + L ^ {2} / 2r ^ {2} – ML ^ {3} / r ^ {3} \ right] = \ frac {1} {2} E ^ {2} [/ math]
que es casi idéntico a la ecuación para el movimiento radial en el potencial gravitacional efectivo unidimensional no relativista habitual. La nueva física proviene del último término en el potencial efectivo, los otros dos también están presentes en la teoría newtoniana.
Además, para k = 1, obtenemos el caso masivo y temporal. Para k = 0, obtenemos el caso nulo sin masa (tenga en cuenta que el último término existe en ambos casos). Entonces, eso responde a su pregunta: uno tiene que imponer como restricción el valor del producto interno del campo tangente.