¿Qué son las ecuaciones diferenciales ordinarias y cómo se usan en aplicaciones de la vida real?

Answer 1

Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) son ecuaciones que contienen derivadas de varios órdenes . Si

[matemáticas] y = f (x) \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

entonces el primer tipo de orden contiene

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y ‘\ tag {2} [/ matemáticas]

el segundo tipo de orden contiene

[matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = y ” \ tag {3} [/ matemáticas]

y posiblemente pedidos más bajos. Los derivados pueden representar tasas de cambio, por lo que cualquier fenómeno que implique una tasa de cambio seguramente atraerá la atención de una EDO.

El proceso de tratar de describir fenómenos en el mundo real se llama modelado matemático . Un objetivo básico del modelado es tratar de encontrar una ecuación diferencial asociada que la gobierne, y luego usar la ecuación para predecir eventos dentro de los fenómenos.

Se ha realizado tanto modelado que existe una gran cantidad de ecuaciones. Muy a menudo, las ecuaciones tienen un nombre dado por el matemático, físico, ingeniero, químico, biólogo, economista o científico que utilizó la ecuación. Aquí hay algunos ejemplos de las ciencias físicas:

[matemática] (1 – x ^ {2}) y ” – 2xy ‘+ p (p + 1) y = 0 \ text {ecuación de Legendre – átomo de hidrógeno} [/ matemática]

[matemática] xy ” + (1 – x) y ‘+ py = 0 \ text {ecuación de Laguerre – átomo de hidrógeno} [/ matemática]

[matemáticas] x ^ {2} y ” + xy ‘+ (x ^ {2} -p ^ {2}) y = 0 \ text {Ecuación de Bessel – membranas vibratorias} [/ matemáticas]

[matemática] x ^ {2} y ” + xy’- (x ^ {2} – p ^ {2}) y = 0 \ text {Ecuación de Bessel modificada – placas vibratorias} [/ matemática]

[matemática] y ” – 2xy ‘+ 2py = 0 \ text {ecuación de Hermite – mecánica cuántica} [/ matemática]

[matemática] y ” + xy = 0 \ text {ecuación de Airy – arco iris} [/ matemática]

Answer 2

En pocas palabras, una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que contiene derivadas de una variable dependiente con respecto a la variable independiente.

1. Solo hay dos variables en una EDO: independiente ( x ) y dependiente ( y ). En casos mucho menos complicados y exigentes, las dos variables son fácilmente detectables y determinables: por ejemplo, si los términos derivados tienen la forma [matemática] \ dfrac {d ^ {n} p} {dm ^ n} [/ matemática] entonces la variable dependiente es p .
2. En realidad, se parece a una ecuación polinómica, excepto que en lugar de tener términos de [matemática] x ^ 2 [/ matemática], [matemática] x ^ 3 [/ matemática] etc. y resolvemos para [matemática] x [/ matemática] que satisfacen la ecuación, una EDO contiene términos [matemática] \ dfrac {dy} {dx} [/ matemática], [matemática] \ dfrac {d ^ {2} y} {dx ^ 2} [/ matemática] etc. y nosotros pretenden resolver [math] y [/ math] en términos de [math] x [/ math] que satisfaga la ecuación diferencial. Alguna forma de integración estará involucrada.

Algunos ejemplos incluyen el modelo clásico de crecimiento de la población [matemática] \ left (\ dfrac {dP} {dt} = kP \ right) [/ math], desintegración radiactiva [matemática] \ left (\ dfrac {dN} {dt} = \ lambda N \ right) [/ math], Ley de enfriamiento de Newton [math] \ left (\ dfrac {dT} {dt} = k (T-T_0) \ right) [/ math]. De hecho, situaciones que involucran tasas casi siempre implican EDO. Tome el movimiento de un cuerpo en movimiento en un medio resistivo, entonces implicará términos de [matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ 2} [/ math] donde los términos son velocidad y aceleración respectivamente yx es desplazamiento. A partir de ahí y aplicando la Segunda Ley del Movimiento de Newton, podemos obtener una función para el desplazamiento.

Answer 3

“En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria u ODE es una ecuación diferencial que contiene una función o funciones de una variable independiente y sus derivadas

Algunos otros usos de las ecuaciones diferenciales incluyen:

1) En medicina para modelar el crecimiento del cáncer o la propagación de enfermedades

2) En ingeniería para describir el movimiento de la electricidad.

3) En química para modelar reacciones químicas

4) En economía para encontrar estrategias de inversión óptimas

5) En física para describir el movimiento de ondas, péndulos o sistemas caóticos “.

Comprender más sobre ecuaciones diferenciales

Answer 4

En la mayoría de los casos de ODE, puede verlos como una descripción de un ciclo de cambio en el sistema. Cada ciclo debe ser idéntico, es decir. realizando el mismo tipo de transformación (generalmente incremental) y los ciclos se repiten muy rápido (cuanto más rápido mejor, en cálculo real, infinitamente rápido). Los pequeños cambios resultantes se resumen en el tiempo, lo que muestra cómo se mueve y vive el sistema.

Es relativamente fácil describir algún sistema con ODE. Solo necesito escribir cómo elementos particulares (variables) se afectan entre sí (por ejemplo, atraer o repeler o alguna interacción más compleja). Luego, puede ejecutar una simulación (es decir, una solución numérica) o resolver con cálculo u otras herramientas simbólicas, obteniendo una solución analítica. También puede, sin una solución real, evaluar el retrato de fase, es decir, cómo se comportará más o menos el sistema: puntos de equilibrio, estabilidad, atractores, etc.

Answer 5

Ni siquiera necesitaremos matemáticas para esto:

Una ecuación diferencial ordinaria (llamémosla ODE) es una relación entre una función de una variable, la tasa de cambio de esa función, la tasa de cambio de la tasa de cambio, y así sucesivamente.

Puede ser difícil pensarlo, pero considere esto: deje que [math] x [/ math] describa la distancia desde un edificio fijo hasta usted. OK, ahora la velocidad de cambio de [matemáticas] x [/ matemáticas] con respecto al tiempo será tu velocidad. La tasa de cambio de la tasa de cambio, si lo piensas, será tu aceleración. Una relación entre estas 3 cantidades es una ODE. ¿No es simple?

De aquí en adelante, creo que puedes adivinar: podemos describirte saltando en el aire y retrocediendo por el mismo procedimiento, podemos describir la caída de la luna alrededor de la tierra, la caída de la tierra alrededor del sol, etc. .

Answer 6

Son ecuaciones que permiten simular / predecir el comportamiento de ciertos fenómenos físicos, como trayectorias de vehículos, corriente en dispositivos electrónicos, temperatura en frigoríficos …

Los ingenieros los utilizan principalmente cuando diseñan dispositivos, y los científicos de muchas disciplinas que quieren modelar algo.

De todos modos, muchos problemas requieren la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, que son un paso más difíciles.

Answer 7

A2A, gracias.

Esto está más allá del alcance de una respuesta de Quora, pero se puede obtener una buena respuesta leyendo el primer capítulo de las ecuaciones diferenciales ordinarias de V. Arnol’d.