Ok, normalmente no soy fanático de resolver problemas de tarea, pero este fue más difícil de lo que esperaba. Si esta es realmente su tarea, eche un vistazo al método de solución propuesto por Jan Tristram Acuna. Esto le dará una primera pista sobre cómo resolver el problema. Sin embargo, si solo está interesado en este problema desde algún tipo de perspectiva física, le proporcionaré una solución completa debajo con algunos comentarios sobre la solución. Si esta es su tarea, puede usar esto como un cheque con su solución (tenga en cuenta que copiar lo que escribí aquí no le dará ninguna idea. Uno solo obtiene eso al practicar por sí mismos).
Muy bien, sin más preámbulos, comencemos.
En primer lugar, comience escribiendo las ecuaciones en la forma que proporcionó Jan Tristram Acuna, es decir, en forma matricial (donde [matemáticas] \ vec {X} = \ left [\ begin {array} {c}
x_ {1} \\
x_ {2}
\ end {array} \ right] [/ math]):
[matemáticas]
\ left [\ begin {array} {cc}
\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} y 0 \\
0 & \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}
\ end {array} \ right] \ vec {X} +
\ left [\ begin {array} {cc}
\ frac {B_ {1}} {M_ {1}} \ frac {d} {dt} & – \ frac {B_ {1}} {M_ {1}} \ frac {d} {dt} \\
– \ frac {B_ {1}} {M_ {2}} \ frac {d} {dt} y \ frac {B_ {1}} {M_ {2}} \ frac {d} {dt}
\ end {array} \ right] \ vec {X} +
\ left [\ begin {array} {cc}
\ frac {K_ {1}} {M_ {1}} y 0 \\
0 & \ frac {K_ {2}} {M_ {2}}
\ end {array} \ right] \ vec {X} =
\ left [\ begin {array} {c}
\ sin {t} \\
\ sin {t}
\ end {array} \ right]
[/matemáticas]
Comenzamos buscando una solución homogénea. Esto se puede hacer poniendo los términos a la derecha del signo de igualdad en cero (para que podamos deshacernos de las fuerzas). Si hacemos esto, podemos sugerir una solución que tenga la forma de una exponencial ([matemáticas] \ vec {X} _ {h} (t) = e ^ {\ lambda t} \ vec {X} _ {0} [ /matemáticas]). De esta manera, podemos sondear las ecuaciones en busca de modos propios del sistema de amortiguación masa-resorte. Después de completar esta solución en la ecuación matricial sin las fuerzas, podemos sumar todas las partes debido al vector constante [math] \ vec {X} _ {0} [/ math]. Obtenemos:
[matemáticas]
\ left [\ begin {array} {cc}
\ lambda ^ {2} + \ lambda \ frac {B_ {1}} {M_ {1}} + \ frac {K_ {1}} {M_ {1}} & – \ lambda \ frac {B_ {1}} {M_ {1}} \\
– \ lambda \ frac {B_ {1}} {M_ {2}} & \ lambda ^ {2} + \ lambda \ frac {B_ {1}} {M_ {2}} + \ frac {K_ {2}} {M_ {2}}
\ end {array} \ right] \ vec {X} _ {0} =
\ left [\ begin {array} {c}
0 \\
0 0
\ end {array} \ right]
[/matemáticas]
- ¿Por qué las ecuaciones diferenciales son importantes en relación con la vida cotidiana?
- Cómo entender la teoría de las ecuaciones diferenciales utilizadas en un entorno de ingeniería
- ¿Cuál es la solución para el PDE?
- ¿Qué falta en las ecuaciones de Maxwell? ¿Qué física no encaja?
- Cómo resolver [matemáticas] (x + y + 1) dy / dx = 1 [/ matemáticas]
Para garantizar una solución única, debemos calcular el determinante de la matriz cuadrada de la izquierda. Si lo hacemos, terminamos con una ecuación cuártica:
[matemáticas] M_ {1} M_ {2} \ lambda ^ {4} + \ left (M_ {1} + M_ {2} \ right) B_ {1} \ lambda ^ {3} + \ left (K_ {1 } M_ {2} + K_ {2} M_ {1} \ right) \ lambda ^ {2} + \ left (K_ {1} + K_ {2} \ right) B_ {1} \ lambda + K_ {1} K_ {2} = 0 [/ matemáticas]
Esta ecuación tiene cuatro soluciones. Sin embargo, el cálculo de soluciones generales es más de lo que podré incluir en esta respuesta. Echemos un vistazo al caso específico que se solicitó en el problema con las constantes [matemáticas] B_ {1} = 2, K_ {1} = 1, M_ {1} = 1, K_ {2} = 4, M_ {2} = 4 [/ matemáticas]. La ecuación se transforma en la más fácil de resolver:
[matemáticas] 2 \ lambda ^ {4} +5 \ lambda ^ {3} +4 \ lambda ^ {2} +5 \ lambda + 2 = 0 [/ matemáticas]
Si observamos el último término, vemos que los posibles divisores son -2, -1, 1 y 2. Por lo tanto, podemos usar la regla de Horner para simplificar esta ecuación. Cuando lo hacemos, llegamos a:
[matemática] \ left (x + 2 \ right) \ left (x + \ frac {1} {2} \ right) \ left (x ^ {2} +1 \ right) = 0 [/ math]
Las soluciones para lambda son por lo tanto:
[matemáticas] \ lambda = -2, – \ frac {1} {2}, -i, i [/ matemáticas]
Con estos valores propios podemos continuar buscando vectores propios. Estos se pueden encontrar fácilmente completando las lambdas que se encuentran en la ecuación con [math] \ vec {X} _ {0} [/ math] y buscando posibles soluciones. Si hacemos esto, obtenemos los siguientes vectores propios:
[matemáticas] -2: \ left (\ begin {array} {c}
4 \\
-1
\ end {array} \ right) e ^ {- 2t} [/ math]
[matemáticas] – \ frac {1} {2}: \ left (\ begin {array} {c}
4 \\
-1
\ end {array} \ right) e ^ {- \ frac {1} {2} t} [/ math]
[matemáticas] -i: \ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right) e ^ {- it} [/ math]
[matemáticas] i: \ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right) e ^ {it} [/ math]
Ahora sabemos que la solución homogénea tiene el siguiente aspecto (con las constantes A, B, C y D):
[matemáticas]
Ae ^ {- \ frac {1} {2} t} \ left (\ begin {array} {c}
4 \\
-1
\ end {array} \ right)
+
Be ^ {- 2t} \ left (\ begin {array} {c}
4 \\
-1
\ end {array} \ right)
+
Ce ^ {it} \ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right)
+
De ^ {- it} \ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right)
[/matemáticas]
El siguiente es la solución heterogénea. Para esta parte de la solución, se incorporan los términos de fuerza. Una vez más, veremos el caso específico con las constantes dadas. Tenemos las siguientes dos ecuaciones:
[matemáticas] \ ddot {x_ {1}} = 2 (\ dot {x_ {2}} – \ dot {x_ {1}}) – x_ {1} + \ sin {t} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ddot {x_ {2}} = -2 (\ dot {x_ {2}} – \ dot {x_ {1}}) – x_ {2} + \ sin {t} [/ matemáticas]
Cuando buscamos soluciones heterogéneas, no hay realmente una forma exacta de hacerlo. Sin embargo, uno tiene algunas pistas. En primer lugar, se sabe que la solución heterogénea tiene la misma forma que la fuerza aplicada. Aquí eso significa que buscaremos una solución con seno y coseno. Tratemos de hacer esto.
Al principio haremos una implicación extra. Podemos ver que las dos ecuaciones son iguales, aparte de los términos que concentran la velocidad. Sin embargo, si suponemos que las expresiones para [matemáticas] x_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] x_ {2} [/ matemáticas] son las mismas, estos términos de velocidad se cancelan y hemos simplificado enormemente nuestro problema. Por lo tanto, hacemos esta suposición, dejándonos con la ecuación:
[matemáticas] \ ddot {x} = -x + \ sin {t} [/ matemáticas]
Podemos ver de inmediato que una solución de la forma [math] \ sin {t} [/ math] o [math] \ cos {t} [/ math] no funcionará. Sin embargo, de alguna manera debemos crear un término con un seno. Esto se puede hacer multiplicando esta expresión por [math] t [/ math]. Por lo tanto, tenemos algo como [matemáticas] Et \ cos {t} + Ft \ sin {t} [/ matemáticas] con las constantes E y F. Si completamos esto, podemos resolver las constantes E y F. Encontramos que [matemáticas] E = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] F = 0 [/ matemáticas] . La solución particular es por lo tanto igual a:
[matemáticas] – \ frac {1} {2} t \ cos {t} [/ matemáticas]
Esto nos da el vector de solución no homogénea:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c}
– \ frac {1} {2} t \ cos {t} \\
– \ frac {1} {2} t \ cos {t}
\ end {array} \ right) [/ math]
Esto significa que la solución se parece a:
[matemáticas]
\ left (\ begin {array} {c}
x_ {1} (t) \\
x_ {2} (t)
\ end {array} \ right)
=
Ae ^ {- \ frac {1} {2} t} \ left (\ begin {array} {c}
4 \\
-1
\ end {array} \ right)
+
Be ^ {- 2t} \ left (\ begin {array} {c}
4 \\
-1
\ end {array} \ right)
+
Ce ^ {it} \ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right)
+
De ^ {- it} \ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right)
– \ frac {1} {2} t \ cos {t}
\ left (\ begin {array} {c}
1 \\
1
\ end {array} \ right)
[/matemáticas]
Nos descansa calcular las constantes necesarias.
Ahora que tenemos todas las partes de la solución, una parte homogénea y una solución particular, podemos hacer uso de las condiciones iniciales. Tenemos las siguientes condiciones iniciales:
[matemática] x_ {1} (0) = 0 [/ matemática], [matemática] \ dot {x_ {1}} (0) = 0 [/ matemática]
[matemática] x_ {2} (0) = 0 [/ matemática], [matemática] \ dot {x_ {2}} (0) = 2 [/ matemática]
Cuando completamos la suma de la solución homogénea y la particular como se presentó anteriormente, obtenemos las siguientes cuatro ecuaciones:
[matemáticas] x_ {1} (0) = 0 [/ matemáticas] -> [matemáticas] 4A + 4B + C + D = 0 [/ matemáticas]
[matemática] x_ {2} (0) = 0 [/ matemática] -> [matemática] -A-B + C + D = 0 [/ matemática]
[matemática] \ dot {x_ {1}} (0) = 0 [/ matemática] -> [matemática] -2A-8B + iC-iD = \ frac {1} {2} [/ matemática]
[matemáticas] \ dot {x_ {2}} (0) = 2 [/ matemáticas] -> [matemáticas] \ frac {1} {2} A + 2B + iC-iD = \ frac {5} {2} [ /matemáticas]
Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente, como se puede ver en las dos últimas ecuaciones que [math] C = -D [/ math]. Cuando sabes esto, las dos primeras ecuaciones te dan que [matemáticas] A = -B [/ matemáticas]. A partir de entonces, solo se está completando. Obtenemos la solución:
[matemáticas] A = – \ frac {4} {15} [/ matemáticas]
[matemáticas] B = \ frac {4} {15} [/ matemáticas]
[matemáticas] C = \ frac {-21} {20} i [/ matemáticas]
[matemáticas] D = \ frac {21} {20} i [/ matemáticas]
Completando estos valores en la solución que teníamos antes de obtener:
[matemáticas] x_ {1} (t) = \ frac {16} {15} \ left (e ^ {- 2t} -e ^ {- \ frac {1} {2} t} \ right) + \ frac { 21} {10} \ sin {t} – \ frac {1} {2} t \ cos {t} [/ math]
[matemáticas] x_ {2} (t) = \ frac {4} {15} \ left (-e ^ {- 2t} + e ^ {- \ frac {1} {2} t} \ right) + \ frac {21} {10} \ sin {t} – \ frac {1} {2} t \ cos {t} [/ math]
Veamos ahora las implicaciones físicas de esta solución.
Podemos ver que los dos primeros términos de la solución son las soluciones amortiguadas para el sistema. Si dejamos que estos dos términos evolucionen en el tiempo, la amplitud llega a cero y el sistema llega a su estado de reposo.
El tercer término es un seno. Esta es la solución de resorte del sistema. Si logramos que oscile de esta manera, veremos que el sistema oscila continuamente sin pérdida de energía. Esto es lo que se entiende más comúnmente bajo un modo propio del sistema.
Los tres términos anteriores son parte de la solución homogénea del problema y, por lo tanto, describen cómo se comportaría el sistema cuando no hubiera fuerza presente.
Sin embargo, el último término es el de la solución particular. Este muestra un comportamiento oscilante creciente.
Con las condiciones iniciales dadas, ahora se tiene que el sistema comenzaría a oscilar periódicamente sin una fuerza aplicada (sin embargo, tenga en cuenta que en ese caso los valores para A, B, C y D serían diferentes). Sin embargo, cuando hay una fuerza sinusoidal presente, vemos que el sistema entrará en resonancia y eventualmente se descompondrá a medida que la amplitud de las oscilaciones sea demasiado alta. Tenga en cuenta que en la tarea no se dijo nada sobre la longitud de los resortes. Esto se debe a que no importa en absoluto, ya que el sistema se descompondrá sin importar cuánto tiempo tardes en hacerlo.
Todo esto se confirma con una gráfica de la solución, donde se ve que las rutas de los dos objetos se unen rápidamente en resonancia con una amplitud cada vez mayor.
Algunas gráficas ([matemáticas] x_ {1} [/ matemáticas] siempre es la curva negra, mientras que [matemáticas] x_ {2} [/ matemáticas] siempre es la curva roja):
Una gráfica para mostrarle las condiciones iniciales (t de 0 a 1):
Una gráfica para mostrarle que las soluciones se acercan entre sí (t de 0 a 6.5):
Una gráfica para mostrarle que las soluciones entran en resonancia, comienzan a moverse juntas y que la amplitud sigue aumentando (t de 0 a 10):
Una última observación es que debe tener cuidado al interpretar estas gráficas, ya que la asignación define las direcciones positivas hacia abajo (por lo tanto, debe voltear las gráficas).
La conclusión es que el sistema hace exactamente lo que espera que haga bajo una fuerza aplicada (es decir, entrar en resonancia hasta que el sistema se rompa).