¿Alguien puede ayudarme a resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Tú y Siddhant han aclarado en los comentarios que este es realmente el problema de Kepler. Nunca he visto este problema resuelto en coordenadas cartesianas, probablemente por muy buenas razones. En cada libro de texto que conozco, el cambio a coordenadas polares planas se realiza muy temprano en el juego. Sin embargo, si uno tiene la intención de continuar con el problema en los cartesianos, probablemente sea una buena idea utilizar integrales conocidas del movimiento, a saber, el momento angular y la energía total. En términos de coordenadas cartesianas, estas dos constantes de movimiento serían (utilizando la notación de Newton de un sobredot para indicar una derivada del tiempo, por conveniencia de notación, es decir, [matemáticas] \ dot {x} \ equiv \ frac {dx} {dt} [/ matemáticas], … etc.)

[matemática] x \ dot {y} – y \ dot {x} = L [/ matemática], una cantidad constante proporcional al momento angular,

y

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ left (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2 \ right) – C \, \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) ^ {-1/2} = E [/ math], una constante proporcional a la energía total.

Al diferenciar cualquiera de estos con respecto al tiempo, y al usar sus expresiones para las derivadas por segunda vez, encontrará que sus derivadas son cero, lo que demuestra que en realidad son constantes del movimiento. Esto es lo más lejos que puedo llegar a una solución, creo que cualquier progreso adicional se vuelve bastante difícil, pero estoy seguro de que hay expertos por ahí con buenas ideas para continuar con ella. La solución debe representar el movimiento en una elipse con el origen de coordenadas en un foco de la elipse, por lo que debe obtener [math] y = f (x) [/ math], la ecuación de una elipse con origen en un foco. Las constantes que definen la elipse implicarán las constantes de movimiento anteriores. Espero que obtengas una mejor ayuda con esto.