Cómo encontrar la solución a la ecuación [matemáticas] y ^ {”} + 2y ^ {‘} + 2y = xe ^ {- x} [/ matemáticas] que satisface la condición [matemáticas] y (0) = y ^ {‘} (0) = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Esta es una ecuación diferencial estándar de segundo orden como señala George Simpson . Tiene la forma [matemática] a [/ matemática] [matemática] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + b \ frac {dy} {dx} + cy = f (x) [/ matemática] donde [matemática] f (x) [/ matemática] es una función de las formas, [matemática] e ^ {rx}, x ^ ne ^ {rx}, x ^ n, \ cos (x), \ sin (x) [/matemáticas]. Si factorizamos [matemática] y [/ matemática] y escribimos [matemática] \ frac {d} {dx} = D [/ matemática],

[matemáticas] (aD ^ 2 + bD + c) y = f (x) [/ matemáticas]

Aquí, [matemática] f (x) = xe ^ {- x}, [/ matemática] de la forma [matemática] x ^ ne ^ {rx} [/ matemática], [matemática] n = 1, r = -1 [/matemáticas]. [matemáticas] a = 1, b = 2, c = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (D ^ 2 + 2D + 2) y = xe ^ {- x} [/ matemáticas]

Ahora, tratamos la ecuación [matemática] D ^ 2 + 2D + 2 [/ matemática] como una ecuación auxiliar y la equiparamos a [matemática] 0 [/ matemática].

[matemáticas] m ^ 2 + 2m + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (m + 1) ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] m + 1 = + – i [/ matemáticas]

[matemáticas] m = -1 + i, -1-i [/ matemáticas]

El CF, es de una forma imaginaria, (si las raíces son [matemáticas] \ alpha + \ beta i, \ alpha- \ beta i [/ matemáticas], aquí [matemáticas] \ alpha = -1, \ beta = l [/ matemáticas ])

[matemáticas] e ^ {\ alpha x} (A \ cos (\ beta x) + B \ sin (\ beta x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- x} (A \ cos (x) + B \ sin (x)) [/ matemáticas]

(Realmente derivado de la fórmula de Eulers, [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ math] se aplica a [matemáticas] Ae ^ {m_1 x} + Be ^ {m_2} [/ math]. Si [math] m_1 = \ alpha + i \ beta [/ math], [math] m_2 = \ alpha-i \ beta [/ math],

[matemáticas] Ae ^ {(\ alpha + i \ beta) x} + Be ^ {(\ alpha-i \ beta) x} [/ matemáticas]

[matemáticas] Ae ^ {\ alpha x + i \ beta x} + Be ^ {\ alpha xi \ beta x} [/ matemáticas]

Ahora, podemos factorizar por [math] e ^ {\ alpha x}, [/ math]

[matemáticas] e ^ {\ alpha x} (Ae ^ {i \ beta x} + Be ^ {- i \ beta x}) [/ matemáticas]

Podemos recordar la fórmula de Eulers, reemplazar, [math] \ theta = \ beta x, – \ beta x [/ math],

[matemáticas] e ^ {\ alpha x} (A \ cos (\ beta x) + Ai \ sin (\ beta x) + B \ cos (\ beta x) -Bi \ sin (\ beta x)) [/ math ]

Pasando de eso, de alguna manera, obtenemos el CF)

Nuestro PI es mucho más complicado y si [math] \ phi (D) [/ math] es la ecuación que contiene el operador diferencial, y [math] f (x) [/ math] es la función, el PI particular integral es denotado como [math] \ int \ frac {f (x)} {\ phi (D)} [/ math]. [matemáticas] f (x) = xe ^ {- x} [/ matemáticas], [matemáticas] \ phi (D) = D ^ 2 + 2D + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 2D + 2} \ veces xe ^ {- x} [/ matemáticas]

PI wrt [matemática] x [/ matemática], tomamos [matemática] e ^ {rx} [/ matemática] y tomamos [matemática] r [/ matemática], que es [matemática] r = -1 [/ matemática]. Entonces, tomamos [matemáticas] D = D + r = D + (- 1) = D-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {(D-1) ^ 2 + 2 (D-1) +2} \ veces xe ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2-2D + 1 + 2D-2 + 2} \ veces xe ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 1} \ veces xe ^ {- x} [/ matemáticas]

Ahora, no tenemos que enfrentar muchas complicaciones

Recordamos la serie de Taylor para [matemáticas] (1 + x) ^ {- 1} [/ matemáticas] que es [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-x) ^ n = 1-x + x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4… .. [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + D ^ 2) ^ {- 1} \ veces xe ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- x} (1-D ^ 2 + D ^ 4-D ^ 6 + D ^ 8… ..) x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- x} (1 (x) -D ^ 2 (x) + D ^ 4 (x)….) [/ matemáticas]

Ahora, sabemos que, [matemáticas] D ^ 2 (x) = 0 [/ matemáticas] y ese es el límite donde nos detenemos. Tenemos,

[matemáticas] e ^ {- x} (x) [/ matemáticas]

Nuestra solución completa es,

[matemáticas] e ^ {- x} (A \ cos (x) + B \ sin (x)) + e ^ {- x} (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- x} (A \ cos (x) + B \ sin (x) + x) [/ matemáticas]

Answer 2

Esta es una ecuación diferencial estándar de segundo orden que se puede resolver utilizando cualquier número de métodos. Para esto, usaré la transformación de Laplace. Te comenzaré pero no lo terminaré, ya que parece una pregunta de tarea. Tomar transformadas de Laplace de ambos lados nos da

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} \ left [y “+ 2y ‘+ 2y \ right] = \ mathcal {L} [xe ^ {- x}]. [/ math]

Dividir esto nos da

[matemática] \ matemática {L} (y “) + 2 \ matemática {L} (y) +2 \ matemática {L} (y) = \ matemática {L} (xe ^ {- x}). [/ matemática ]

Aplique las identidades de transformación de Laplace para que continúen las primeras y segundas derivadas.

Answer 3

Estoy bastante seguro de que una solución y (t) es exclusiva de este sistema

Primero, si existe un y_p (t) tal que y_p ” + 2 * y_p ‘+ 2 * y_p = 0,

entonces y_p (t) + y_c (t) es una solución a la ecuación diferencial,

por lo tanto, utilizando la forma básica de resolver la característica, nosotros

obtener que la solución es y_p (x) = C1 * e ^ (- x) * sin (x) + C2 * e ^ (- x) * cos (x),

como las raíces de r ^ 2 + 2 * r + 2 = 0, son r1 = -1 + i, y r2 = -1 -i,

sin embargo,

la solución exacta a y_c ” + 2 * y_c ‘+ 2 * y_c = x * e ^ x,

una buena suposición sería y_c = A * x * e ^ x + B * e ^ x“

resolviendo estos coeficientes volviéndolos a enchufar en el ODE,

con suerte te daría A y B,

desde allí agregue (A_known * x * e ^ x + B_known * e ^ x) + (C1 * e ^ (- x) * sin (x) + C2 * e ^ (- x) * cos (x)) y enchufe esta forma final de vuelta en el ODE,

luego resuelva para C1 C2 con base en los 2 sistemas lineales gobernados por y (0) = 0 e y ‘(0) = 0