¿Cómo es [math] (y + x ^ 2 y ^ 2) \, \ mathrm {d} x – x \, \ mathrm {d} y = 0 [/ math] una ecuación diferencial homogénea?

Answer 1

La ecuación dada:

[matemáticas] \ displaystyle {(y + x ^ 2y ^ 2) \ mathrm {d} x – x \ mathrm {d} y = 0} [/ math]

Reescribiéndolo de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle {(y \ mathrm {d} x – x \ mathrm {d} y) + x ^ 2y ^ 2 \ mathrm {d} x = 0} [/ math]

Tenga en cuenta que la línea recta [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] es una solución trivial de la ecuación, (1). Con [math] y \ ne 0 [/ math] dividiendo ambos lados de la ecuación por [math] y ^ 2 [/ math], obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {y \ mathrm {d} x – x \ mathrm {d} y} {y ^ 2} + x ^ 2 \ mathrm {d} x = 0} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow \ mathrm {d} \ left (\ frac {x} {y} \ right) = -x ^ 2 \ mathrm {d} x} [/ math]

La integración de esta ecuación produce:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {x} {y} = – \ frac {x ^ 3} {3} + C} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es constante

O:

[matemáticas] \ displaystyle {y = \ frac {3x} {- x ^ 3 + 3C}} \ qquad (2) [/ matemáticas]

De (1) y (2) tenemos la solución general de la ecuación.

Answer 2

Abordar la homogeneidad: [matemática] M (x, y): = y + x ^ 2 \ cdot y ^ 2 [/ matemática] no es homogénea en ningún orden, mientras que [matemática] N (x, y): = x [/ matemáticas] es homogéneo de primer orden. En cualquier caso, la ecuación diferencial no es homogénea. Afortunadamente, aún podemos resolverlo.

Hay tres pasos: (a) sustitución (en este caso [matemática] u = 1 / a [/ matemática]); (b) uso de factores de integración; y (c) re-sustitución.

(a) Esto es equivalente a [math] y ‘(x) – y / x = xy ^ 2 [/ math] o equivalente [math] y ^ {- 2} y’ – 1 / (xy) = x [/ matemáticas]. Sea [math] u = 1 / y [/ math], de donde [math] -u’-u / x = x [/ math].

(b) Reescriba el resultado de (a) como [math] u ‘+ u / x = – x [/ math]. Escriba [math] v: = u \ cdot \ exp (\ log (x)) = u \ cdot x [/ math] y [math] v ‘/ x = u’ + u / x = -x [/ math] , de donde [matemática] v (x) = -x ^ 3/3 + C [/ matemática].

(c) Por (b), [matemáticas] u (x) = -x ^ 2/3 + C / x [/ matemáticas] y [matemáticas] y (x) = \ frac {-x} {x ^ 3 / 3-C} = \ frac {-3x} {x ^ 3-3C} [/ math].

Answer 3

Intuitivamente se puede ver al ver que no puede ser una ecuación diferencial homogénea.

Pero si aún tiene dudas sobre su intuición, reescriba la ecuación como:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y + x ^ 2y ^ 2} {x} = f (x, y) [/ matemáticas]

Si [math] f (x, y) [/ math] fuera homogéneo, entonces la ecuación también sería homogénea.

Para probar la homogeneidad, sustituya [math] x \ a tx [/ math] y [math] y \ to ty [/ math]. Si [math] f (tx, ty) = t ^ n \ times f (x, y) [/ math], entonces decimos que [math] f (x, y) [/ math] es homogéneo. Aquí se dice que [matemáticas] n [/ matemáticas] es el grado de [matemáticas] f (x, y) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (tx, ty) = \ dfrac {ty + t ^ 4x ^ 2y ^ 2} {tx} = \ dfrac {y + t ^ 3x ^ 2y ^ 2} {x} [/ math]

Claramente esto no es de la forma [math] t ^ nf (x, y) [/ math]. Por lo tanto, esto no es homogéneo.

Answer 4

No. No lo es.

Puede ser algo parecido a una ecuación exacta pero,

[matemática] \ frac {\ parcial M} {\ parcial x} \ neq \ frac {\ parcial N} {\ parcial y} [/ matemática]

No tengo idea de resolver cosas como esta.

Gracias por el A2A

Answer 5

Usted me debe enseñar. Si integra ambos lados, lo hace con respecto a los diferenciales en x e y. Un término permanece igual a 0. Sugiere que uno de x o y es igual a 0, en integración.