Cómo integrar [math] f (x) = \ frac {1} {x} e ^ {- (x + \ frac {z} {x})} [/ math] con límites desde [math] 0 [/ math ] a [matemáticas] \ infty [/ matemáticas] Educación te da un futuro mejor

Deseamos encontrar

[matemáticas] \ displaystyle I (z) = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)}} {x} \ mathrm {d} x [/matemáticas]

que luego de la diferenciación wrt [math] z [/ math] (usando la regla integral de Leibniz) toma la forma

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} z} = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ frac {e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)}} {x} \ mathrm {d} x = – \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {1} {x ^ 2} e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {1} {z} \ int_0 ^ {\ infty} \ left (\ frac {z} {x ^ 2} e ^ {- \ frac {z} {x}} \ right ) e ^ {- x} \ mathrm {d} x = – \ frac {1} {z} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- x} \ mathrm {d} \ left (e ^ {- \ frac {z} {x}} \ right) [/ math]

Integrando por partes, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} z} = – \ frac {1} {z} \ left (\ left.e ^ {- \ frac {z} {x }} e ^ {- x} \ right \ vert_0 ^ {\ infty} + \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)} \ mathrm {d} x \ right) = – \ frac {1} {z} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)} \ mathrm {d} x \ dotsi ( *)[/matemáticas]

Diferenciando nuevamente wrt [math] z [/ math] llegamos a

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} ^ 2I} {\ mathrm {d} z ^ 2} = \ frac {1} {z ^ 2} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)} \ mathrm {d} x- \ frac {1} {z} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ partial} {\ partial z} e ^ { – \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)} \ mathrm {d} x = \ frac {1} {z} \ left (- \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm { d} z} + I \ derecha) [/ matemáticas]

donde hemos sustituido la definición de [matemáticas] I (z) [/ matemáticas] y la ecuación [matemáticas] (*) [/ matemáticas] en el paso anterior. El segundo orden ODE, que hemos encontrado es

[matemáticas] \ displaystyle z \ frac {\ mathrm {d} ^ 2I} {\ mathrm {d} z ^ 2} + \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} z} -I = 0 \ dotsi (**) [/ matemáticas]

que en realidad es una forma encubierta de la ecuación diferencial de Bessel modificada, y puede reducirse a su forma canónica utilizando una receta estándar, que se encuentra al final de mi respuesta. En el presente caso, hacer la sustitución [math] u = 2 \ sqrt {z} [/ math] hace el trabajo y encontramos que la ecuación [math] (**) [/ math] toma la forma

[matemáticas] \ displaystyle u ^ 2 \ frac {\ mathrm {d} ^ 2I} {\ mathrm {d} u ^ 2} + u \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} u} – (u ^ 2 + 0 ^ 2) I = 0 [/ matemáticas]

cuya solución general está escrita en términos de las funciones modificadas de Bessel del primer y segundo tipo. Así,

[matemáticas] \ displaystyle I (z) = a_1I_0 \ left (2 \ sqrt {z} \ right) + a_2K_0 \ left (2 \ sqrt {z} \ right) [/ math]

donde [math] a_ {1,2} [/ math] son constantes arbitrarias, que se determinarán en condiciones iniciales. Nota de la definición de [matemáticas] I (z) [/ matemáticas], que [matemáticas] I (z) \ a 0 [/ matemáticas] como [matemáticas] z \ a \ infty [/ matemáticas]

mientras, la función [matemáticas] I_0 (2 \ sqrt {z}) \ sim \ frac {e ^ {2 \ sqrt {z}}} {z ^ {1/4}} + \ mathcal {O} \ left ( \ frac {1} {z ^ {3/4}} \ right) [/ math] explota como [math] z \ to \ infty [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] a_1 = 0 [/ matemáticas]. Encontrar, [math] a_2 [/ math] es un poco complicado, pero podemos hacer algunas asintóticas interesantes para extraer su valor. Para hacerlo, reescribimos [matemáticas] x + \ frac {z} {x} = x + \ frac {z} {x} -2 \ sqrt {z} +2 \ sqrt {z} = \ left (\ sqrt { x} – \ sqrt {\ frac {z} {x}} \ right) ^ 2 + 2 \ sqrt {z} [/ math] y enchufar esto en la integral da

[matemáticas] \ displaystyle I (z) = e ^ {- 2 \ sqrt {z}} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ sqrt {x} – \ sqrt {\ frac {z} { x}} \ right) ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} x} {x} \ dotsi (***) [/ math]

A continuación, dejamos

[matemáticas] \ displaystyle u = \ sqrt {x} – \ sqrt {\ frac {z} {x}} \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} x} {2x} \ left (\ sqrt {x} + \ sqrt {\ frac {z} {x}} \ right) = \ mathrm {d} u [/ math]

Además, haciendo uso de la identidad algebraica

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ sqrt {x} + \ sqrt {\ frac {z} {x}} \ right) ^ 2 = \ left (\ sqrt {x} – \ sqrt {\ frac {z} { x}} \ right) ^ 2 + 4 \ sqrt {z} [/ math]

llegamos a

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} x} {2x} = \ frac {\ mathrm {d} u} {\ sqrt {4 \ sqrt {z} + u ^ 2}} [/ math]

Ahora, usando esto en la ecuación [matemáticas] (***) [/ matemáticas] llegamos a

[matemáticas] \ displaystyle I (z) = \ frac {e ^ {- 2 \ sqrt {z}}} {z ^ {1/4}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- u ^ 2}} {\ sqrt {1+ \ frac {u ^ 2} {4 \ sqrt {z}}}} \ mathrm {d} u [/ math]

El siguiente paso es expandir la raíz cuadrada; hacemos esto para obtener la forma asintótica de la integral como [math] z \ to \ infty [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle I (z) \ sim \ frac {e ^ {- 2 \ sqrt {z}}} {z ^ {1/4}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -u ^ 2} \ left (1- \ frac {u ^ 2} {8 \ sqrt {z}} + \ frac {3} {128} \ frac {u ^ 4} {z} + \ mathcal {O} \ left (\ frac {u ^ 6} {z ^ {3/2}} \ right) \ right) \ mathrm {d} u [/ math]

distribuir la integral sobre la suma y realizar las integrales gaussianas usando la fórmula

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ ne ^ {- x ^ 2} \ mathrm {d} x = \ frac {n!} {2 ^ n (n / 2)!} \ sqrt {\ pi} [/ math] ([math] n [/ math] even)

obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle I (z) \ sim e ^ {- 2 \ sqrt {z}} \ left (\ frac {\ sqrt {\ pi}} {z ^ {1/4}} – \ frac {\ sqrt {\ pi}} {16z ^ {3/4}} + \ frac {9} {512} \ frac {\ sqrt {\ pi}} {z ^ {5/4}} + \ mathcal {O} \ left (\ frac {1} {z ^ {7/4}} \ right) \ right) [/ math]

Comparando con la expansión asintótica de [math] K_0 \ left (2 \ sqrt {z} \ right) [/ math] como [math] z \ to \ infty [/ math] (aquí) podemos concluir fácilmente que [math] a_2 = 2 [/ matemáticas]. Por fin podemos escribir

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ int_0 ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- \ left (x + \ frac {z} {x} \ right)}} {x} \ mathrm {d} x = 2K_0 \ left (2 \ sqrt {z} \ right)} [/ math]

NOTAS

Brevemente tomamos nota de las EDO de segundo orden que son reducibles a la ecuación diferencial de Bessel [FUENTE]. La ecuación principal debe ser de la forma

[matemáticas] x ^ 2y ” + x (a + 2bx ^ r) y ‘+ (c + dx ^ {2q} + b (a + r-1) x ^ r + b ^ 2x ^ {2r}) y = 0 [/ matemáticas]

Si [math] (1-a) ^ 2 \ geq 4c [/ math] y [math] d, q, r \ neq0 [/ math], la solución general se puede escribir como

[matemáticas] y = x ^ {\ alpha} e ^ {- \ beta x ^ r} \ left (c_1Z_p \ left (\ lambda x ^ q \ right) + c_2Z _ {- p} \ left (\ lambda x ^ q \ right) \ right) [/ math]

donde [matemática] \ alpha = \ frac {1-a} {2} [/ matemática], [matemática] \ beta = \ frac {b} {r} [/ matemática], [matemática] \ lambda = \ frac { \ sqrt {| d |}} {q} [/ matemáticas], [matemáticas] p = \ frac {1} {2q} \ sqrt {(1-a) ^ 2-4c} [/ matemáticas] y [matemáticas] Z _ {\ pm p} [/ math] son funciones de Bessel de la siguiente manera

CASO I: [matemática] d \ geq 0 [/ matemática], [matemática] p \ neq 0 [/ matemática], [matemática] p \ not \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], [matemática] Z_p = J_p [/ matemáticas] y [matemáticas] Z _ {- p} = J _ {- p} [/ matemáticas]

CASO II: [matemática] d \ geq 0 [/ matemática], [matemática] p \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], [matemática] Z_p = J_p [/ matemática] y [matemática] Z _ {- p} = Y_p [/ matemáticas]

CASO III: [matemática] d <0 [/ matemática], [matemática] p \ neq 0 [/ matemática], [matemática] p \ not \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], [matemática] Z_p = I_p [/ math] y [math] Z _ {- p} = I _ {- p} [/ math]

CASO IV: [matemática] d <0 [/ matemática], [matemática] p = 0 [/ matemática], [matemática] Z_p = I_p [/ matemática] y [matemática] Z _ {- p} = K_p [/ matemática]

Salud !