Como la solución para una ecuación diferencial única en una sola variable, du = λ u (t),
es u (t) = [matemática] v \ e ^ {λt} [/ matemática], este resultado también se mantendrá para un sistema de ED homogéneas.
Sin embargo, un preliminar es: ¿Por qué es así?
¿Por qué los exponenciales funcionan como soluciones para los DE?
- ¿Cuáles son algunos ejemplos cotidianos de ecuaciones diferenciales?
- Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial
- Cómo determinar la ecuación de la tangente a la curva [matemática] f (x) = x ^ 3-x [/ matemática], que pasa por el punto [matemática] (0,2) [/ matemática]
- ¿Cómo se derivaron los valores ‘k’ en la forma general del método Runge Kutta?
- ¿Qué representan prácticamente las ecuaciones diferenciales parciales?
La función [matemáticas] y = f (t) = e ^ t [/ matemáticas] tiene una relación especial con su propia derivada, a saber
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dt} = = e ^ t = y [/ matemáticas]
Por lo tanto, al considerar las funciones exponenciales y elegir una base conveniente, sin querer nos topamos con una relación satisfecha por la función y su derivada: a saber, una ecuación diferencial.
Comentario:
Considere [math] \ dfrac {dy} {dt} = 2y [/ math]
La función [matemáticas] y = e ^ t [/ matemáticas] ya no satisfará esta ecuación. (verifique esto conectando [math] e ^ t [/ math] como solución) Sin embargo, podemos modificar este exponencial simple y probar la posible solución
[matemáticas] y (t) = ve ^ {kt} [/ matemáticas]
donde k, v son constantes. Para determinar si esta función satisface la ecuación diferencial anterior, necesitaremos calcular su derivada, lo que hacemos usando la regla de la cadena. (Necesitamos usar la regla de la cadena porque la función anterior tiene una expresión u = kt en el exponente, no solo t solo).
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dt} = \ dfrac {d} {dt} \ left (ve ^ {kt} \ right) \\ [/ math]
[matemáticas] = v \ dfrac {de ^ {kt}} {dt} = v \ dfrac {de ^ {u}} {du} \ dfrac {du} {dt} \\ [/ math]
[matemáticas] = ve ^ uk = k (ve ^ {kt}) = ky \\ [/ matemáticas]
Observe que hemos demostrado que la función [math] y (t) = ve ^ {kt} [/ math] satisfará la ecuación [math] \ dfrac {dy} {dt} = ky \\ [/ math]. Por lo tanto, si elegimos k = 2 , (es decir, seleccionamos [math] y (t) = ve ^ {2t} [/ math] como el candidato para la función correcta), debería satisfacer la ecuación diferencial en el ejemplo.
Para un sistema de DE en una matriz:
(Crédito aquí al Dr. John Lesieutre del MIT, que escribe mucho más elegantemente sobre este tema que yo):
Si tenemos n funciones [matemáticas] u_1,. . . , u_n, [/ math]
y satisfacen un montón de ecuaciones diferenciales
[matemáticas] \ dfrac {du_1} {dt} = a_ {11} u_1 (t) + · · · + a_ {1n} u_n (t) [/ matemáticas]
etc., podemos empaquetar todo esto en una sola ecuación matricial
[matemáticas] \ dfrac {du} {dt} = A {\ bf u} [/ matemáticas].
Lo primero que se comprueba es que una forma de obtener soluciones es usando [math] {\ bf u} (t) = e ^ {\ λ_it} {\ bf v} _i [/ math], donde [math] {\ bf v} _i [/ math] es cualquier vector propio de A.
Cualquier combinación de soluciones también es una solución, por lo que la solución general para [math] \ dfrac {du} {dt} = A {\ bf u} [/ math] tiene la forma
[matemáticas] u (t) = c_1 \ e ^ {\ λ_1 t} {\ bf v_1} + · · · + c_n \ e ^ {\ λ_n t} {\ bf v_n} [/ math].
Si tiene condiciones iniciales (valores para [math] u_i (0) [/ math]), puede usarlas para resolver las constantes [math] c_i [/ math]. Nosotros necesitamos
[matemáticas] {\ bf u} (0) = c_1 {\ bf v} _1 + · · · + c_n {\ bf v} _n [/ matemáticas].
Pegando todos los vectores propios [matemática] v_i [/ matemática] como columnas de una matriz S , esto simplemente dice que S c = u (0) , e invirtiendo obtenemos las condiciones iniciales como [matemática] {\ bf c} = S ^ {−1} {\ bf u} (0) [/ math].