Creo que la mejor manera es hacerlo de la manera en que lo hicieron los matemáticos antiguos, sin embargo, implica un procedimiento similar al cálculo. Como sigue:
Envuelva una hoja rectangular alrededor de la esfera para que rodee exactamente la circunferencia. Esto hace que la dimensión horizontal del rectángulo sea 2pi.R. (R representa el radio de la esfera). La dimensión vertical de la hoja que necesita hacer es tan alta como la esfera, es decir, 2R.
Ahora proyectamos la superficie de la esfera en la hoja, de forma similar a una proyección de Mercator desde la geografía, pero no es lo mismo (estrictamente hablando, la proyección se llama proyección cilíndrica horizontal). Oriente la esfera como la Tierra con el Norte en la parte superior.
Considere cada arco de la esfera, que se proyectará sobre la hoja circundante, como un paralelo de latitud (también desde la geografía). El radio del paralelo de la latitud en términos del radio de la esfera es (que denota el ángulo de latitud como t grados)
r = Rcos (t) .. (1)
donde r es el radio del paralelo de la latitud.
Cuando la pequeña longitud del arco se proyecta sobre la hoja y se barre alrededor de 360 grados, un área de 2pi.Rcos (t) (= 2pi.r) multiplicado por la longitud del arco (digamos, dR) se proyecta sobre la hoja plana. Cuando parte de un arco circular se proyecta sobre una hoja plana de esta manera, la longitud en la hoja es dRcos (t). Esta longitud se barre a lo largo de la longitud de la hoja, que es 2.pi.R. Pero recuerde de la ecuación anterior (1), que
R = r / (cos (t))
y entonces el área de proyección en la hoja es
2.pi. (r / cos (t)). dRcos (t)
es decir, el cos (t) s se cancela, dejando
2.pi.r.dR
Todas las pequeñas longitudes de arco, dR, se suman del polo sur al polo norte. En resumen, el área de la esfera es igual al área de la hoja rectangular, que se establece en 2.pi.R multiplicado por 2R, lo que equivale, por supuesto, a 4.pi.R ^ 2.
Para obtener el volumen de una esfera en la forma en que lo hicieron los antiguos matemáticos, eso no es cálculo, siga leyendo:
Imagina la esfera con una cuadrícula dibujada en su superficie. Los cuadrados de la cuadrícula se pueden hacer tan pequeños como quieras. Cada cuadrado en la superficie puede ser tratado como la base de una pirámide cuadrada con su vértice en el centro de la esfera. El volumen de esta pirámide elemental es 1/3 del área de la base por su altura perpendicular, que es el radio de la esfera (r). Ahora imagine que la esfera se abre de tal manera que su área de superficie se coloca plana. Las pirámides de volumen se retienen por encima de sus bases. Entonces, lo que tenemos ahora es un área de 4.pi.r ^ 2 con un bosque de pirámides muy delgadas de altura r, igualmente espaciadas en el área, que por supuesto es 4.pi.r ^ 2. El volumen de todas estas pirámides es 1/3. Área de la base por la altura r, o
4.pi.r ^ 2. (1/3) .r = 4 / 3.pi.r ^ 3.