Usamos la diferenciación implícita cuando tenemos una relación implícita entre dos variables, digamos [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Por ejemplo, considere
[matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2x + 4y + 4 = 0 [/ matemática]
y compararlo con la relación
[matemáticas] y = -2 \ pm (-x) ^ {1/2} (x + 2) ^ {1/2}. [/ matemáticas]
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Las dos relaciones anteriores son equivalentes, pero la primera es implícita , mientras que la segunda es explícita . Para diferenciar, podemos usar la diferenciación implícita en la primera relación o las reglas habituales de diferenciación en la segunda. El punto es que, al final del día, todavía tenemos una función de una variable [math] y = f (x) [/ math].
Por otro lado, usamos la diferenciación parcial cuando tenemos funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere
[matemáticas] z = x ^ 2 + xy + y ^ 2 [/ matemáticas]
Aquí, [math] z [/ math] es una función de más de una variable , por lo que se necesita una diferenciación parcial para encontrar sus derivadas.
En pocas palabras: la diferenciación parcial se usa para funciones que tienen más de una variable , mientras que la diferenciación implícita se usa para funciones de una variable que se escriben implícitamente .