Depende de lo que entiendas por interpretación geométrica.
Si quiere decir algo para visualizar lo que está sucediendo, el siguiente gif explica parte de él a través de otra transformación que llamamos la Transformación de Fourier de tiempo continuo (CTFT). Ambos confían (CTFT más que la transformada de Laplace (LT)) en el hecho de que partes de funciones pueden representarse sumando varias funciones sinusoidales de diferentes frecuencias.
El LT y el CTFT son muy similares en términos de lo que hacen. Toman una función que está en un dominio, digamos [math] x [/ math] y la transforma en el dominio invertido. Entonces, si tiene una función de tiempo, [math] t [/ math], transformaría la función en una función de frecuencia (también conocido como [math] \ frac {1} {t} [/ math] domain). La diferencia entre estas dos transformaciones resulta ser en qué tipo de dominio se transforma la transformación.
- Cómo encontrar una solución particular a esta ecuación diferencial
- ¿Cuál es la solución a este problema relacionado con la tangente cuadrática a la función de identidad? (Vea la imagen en detalles)
- Cómo convertir la ecuación en la sección de detalles
- ¿Cuál es el valor de k si el sistema de soluciones tiene una solución trivial?
- ¿Existe una definición de límite para [math] \ mathrm {d} x [/ math]?
Veamos la fórmula CTFT: [matemáticas] F (\ zeta) = \ mathcal {F} (f (t)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- 2 / pi jt \ zeta} dt [/ math].
[matemáticas] j = i = \ sqrt {-1} [/ matemáticas] para el registro. Los ingenieros usualmente usan j.
La fórmula dada tiene un término exponencial: [matemáticas] e ^ {- 2 \ pi jt \ zeta} [/ matemáticas].
Veamos la fórmula de transformación de Laplace: [matemática] F (s) = \ mathcal {L} (f (t)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} dt [/ math].
Esta fórmula dada tiene un término exponencial: [matemáticas] e ^ {- st} [/ matemáticas].
De buenas a primeras, las campanas deberían sonar en tu mente diciendo que la única diferencia entre el LT y el CTFT es [math] s [/ math] vs. [math] 2 \ pi j \ zeta [/ math] y deberías preguntarte cuál es la diferencia.
La diferencia es que [math] s [/ math] es un número complejo que tiene una parte real y una parte imaginaria. Entonces podemos representar [math] s = \ sigma + j \ omega = \ sigma + 2 \ pi j \ zeta [/ math] donde la sustitución de omega proviene de la Física. Entonces, la diferencia esencial entre las dos fórmulas es que [math] \ sigma = 0 [/ math] en el CTFT y esa suposición no es cierta en el LT.
Entonces, ¿cuál es la parte real que puede estar preguntando? Esencialmente, no solo incluye funciones sinusoidales que surgen del exponencial complejo, sino que también lo multiplica por funciones hiperbólicas que surgen del exponencial real, por lo que, de alguna manera, se agrega una nueva dimensión que no podemos visualizar. De lo contrario, el LT y el CTFT hacen esencialmente lo que muestra el gif anterior.
Si desea una respuesta más geométrica, hay una interpretación de LinAlg con análogos geométricos. Si ha tomado LinAlg anteriormente, se habría encontrado con algo llamado valores propios y vectores propios.
En LinAlg, habrás aprendido que puedes crear espacios vectoriales que tienen una base hecha de vectores.
Ahora, en lugar de hacer un espacio vectorial de vectores, piense en hacer un espacio vectorial hecho de funciones básicas (llamémoslo espacio funcional). Tal espacio de funciones sería infinitamente dimensional (ya que hay funciones infinitas).
Si queremos resolver una ecuación vectorial (en un espacio vectorial hecho de vectores) que digamos que usa un operador lineal indicado por la matriz [matemática] A [/ matemática], es más fácil cambiar la base a donde está el operador, [ matemáticas] A [/ matemáticas], es diagonal. En otras palabras, hacemos la ecuación [math] A \ vec {v} = \ lambda \ vec {v} [/ math] donde v es el vector propio y [math] \ lambda [/ math] es el eigen- valor (es) que satisfacen la ecuación.
El operador diferencial (o para ser sincero, cualquier operador funcional lineal) hace lo mismo que la matriz [matemática] A [/ matemática] pero en el espacio de funciones. Entonces, en el caso del operador diferencial [math] \ frac {d} {dt} e ^ {- st} = -se ^ {- st} [/ math] lo que significa que la función propia es [math] e ^ {-st} [/ math] y el valor propio que surge es [math] -s [/ math].
Por lo tanto, la transformación de Laplace puede verse como una forma de encontrar una solución a las funciones arbitrarias en términos de la función propia que utiliza la transformación. Por lo tanto, hace que trabajar con ecuaciones diferenciales y ecuaciones lineales con las que puede ser difícil trabajar sea más fácil.
¿Tiene sentido o te confundí más?