Deje S [math] = \ displaystyle \ sin ^ {e ^ x} x [/ math]
Tomando [math] \ ln [/ math] en ambos lados:
[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ ln S = \ ln (\ sin ^ {e ^ x} x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ ln S = e ^ x \ ln (\ sin x) [/ math]
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[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ frac {1} {S} \ frac {\ text dS} {\ text dx} = e ^ x \ frac {\ text d [\ ln (\ sin x)]} {\ texto {d} x} + \ frac {\ text d [e ^ x]} {\ text dx} (\ ln (\ sin x)) [/ math]
[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ frac {\ text dS} {\ text dx} = S \ left [e ^ x \ left (\ frac {\ cos x} {\ sin x} \ right) + e ^ x \ ln \ sen x \ right] [/ math]
[matemáticas] \\ [/ matemáticas] Sustituyendo S:
[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ frac {\ text dS} {\ text dx} = \ sin ^ {e ^ x} x \ left [e ^ x \ left (\ frac {\ cos x} {\ sin x} \ right) + e ^ x \ ln \ sin x \ right] [/ math]