Cómo diferenciar [matemáticas] y = (\ sin x) ^ {e ^ x} [/ matemáticas]

Deje S [math] = \ displaystyle \ sin ^ {e ^ x} x [/ math]

Tomando [math] \ ln [/ math] en ambos lados:

[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ ln S = \ ln (\ sin ^ {e ^ x} x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ ln S = e ^ x \ ln (\ sin x) [/ math]

[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ frac {1} {S} \ frac {\ text dS} {\ text dx} = e ^ x \ frac {\ text d [\ ln (\ sin x)]} {\ texto {d} x} + \ frac {\ text d [e ^ x]} {\ text dx} (\ ln (\ sin x)) [/ math]

[matemáticas] \\ = \ displaystyle \ frac {\ text dS} {\ text dx} = S \ left [e ^ x \ left (\ frac {\ cos x} {\ sin x} \ right) + e ^ x \ ln \ sen x \ right] [/ math]

[matemáticas] \\ [/ matemáticas] Sustituyendo S:

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ frac {\ text dS} {\ text dx} = \ sin ^ {e ^ x} x \ left [e ^ x \ left (\ frac {\ cos x} {\ sin x} \ right) + e ^ x \ ln \ sin x \ right] [/ math]

[matemáticas] y = (\ sen x) ^ {e ^ x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln y = e ^ x \ ln | \ sin x | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {y ‘} {y} = e ^ x \ ln | \ sin x | + \ dfrac {e ^ x \ cos x} {\ sin x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ‘= (\ sin x) ^ {e ^ x} (e ^ x \ ln | \ sin x | + e ^ x \ cot x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ‘= e ^ x (\ sen x) ^ {e ^ x} (\ ln | \ sin x | + \ cot x) [/ matemáticas]

Tome el logaritmo natural de [matemáticas] y (x) [/ matemáticas]. Diferenciando, con respecto a x, obtenemos

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y \ cdot e ^ x [ln (sin x) + cot (x)] \ cdot (sin (x)) ^ (e ^ x) [/ math]

Siempre que vea una potencia en la que el exponente es una función, vuelva a escribirla como exponencial. (Otros han tomado registros, pero en funciones más complicadas, una expresión como la suya podría ser un término de una suma y el registro sería el registro de la suma).

Entonces, su problema es diferenciar [matemáticas] y = exp (e ^ x \ ln (sin x)) [/ matemáticas]. Ahora solo puede diferenciar un componente a la vez. Primero, diferencie la función exponencial porque se aplicó por último. La derivada es en sí misma, y ​​si lo desea, puede volver a escribirla en la forma original. Luego, diferencia el interior, que es un producto, cuyo factor es otra función compuesta.

Obtiene [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = (\ sin x) ^ {e ^ x} \ left (e ^ x \ ln (\ sin x) + e ^ x \ frac {\ cos x} { \ sin x} \ right) [/ math] que puede simplificar como [math] e ^ x (\ sin x) ^ {e ^ x} \ left (\ ln (\ sin x) + \ cot x \ right) [/matemáticas].

Resuélvelo de la siguiente manera: –

Espero que te ayude. 🙂