Cómo resolver adecuadamente la ecuación diferencial de movimiento armónico

Answer 1

La ecuación diferencial se puede reformular como [matemática] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = – (\ alpha) ^ {2} y [/ matemática], donde [matemática] y = f (x) [/ math], [math] p = (\ alpha) ^ {2} [/ math], ya que [math] p> 0 [/ math]. Además, [matemáticas] \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = \ frac {d} {dx} (\ frac {dy} {dx}) = \ frac {dv} {dx} [/ math], [math] v = \ frac {dy} {dx} [/ math]. Por la regla de la cadena, [math] \ frac {dv} {dx} = \ frac {dv} {dy} \ frac {dy} {dx} = v \ frac {dv} {dy} [/ math]. La ecuación diferencial se convierte en [matemáticas] v \ frac {dv} {dy} = – (\ alpha) ^ {2} y [/ matemáticas]

[math] \ implica v dv = – (\ alpha) ^ {2} y dy [/ math]

[matemáticas] \ implica d (\ frac {1} {2} v ^ {2}) = d (- (\ alpha) ^ {2} \ frac {y ^ {2}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica d (\ frac {1} {2} v ^ {2} + (\ alpha) ^ {2} \ frac {y ^ {2}} {2}) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {1} {2} v ^ {2} + (\ alpha) ^ {2} \ frac {y ^ {2}} {2} = [/ matemáticas] constante [matemáticas] = [ / matemáticas] [matemáticas] k ^ {2} [/ matemáticas]

ya que el LHS es [math] \ geq 0 [/ math].

Entonces, [matemáticas] \ frac {1} {2} v ^ {2} = k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} \ frac {y ^ {2}} {2} [/ matemáticas].

Como [math] v = \ frac {dy} {dx} [/ math], tenemos

[matemáticas] \ frac {1} {2} (\ frac {dy} {dx}) ^ {2} = k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} \ frac {y ^ {2}} { 2} [/ matemáticas]

Elección de la raíz cuadrada positiva, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ sqrt {k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} y ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dy} {\ sqrt {k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} y ^ {2}}} = dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica d \ int \ frac {dy} {\ sqrt {k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} y ^ {2}}} = dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica d (\ int \ frac {dy} {\ sqrt {k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} y ^ {2}}} – x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ int \ frac {dy} {\ sqrt {k ^ {2} – (\ alpha) ^ {2} y ^ {2}}} – x = [/ matemáticas] constante [matemáticas] = C [/matemáticas]

Esto lleva a

[matemáticas] \ frac {1} {\ alpha} \ sin ^ {- 1} (\ frac {y \ alpha} {k}) = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {k} {\ alpha} \ sin (\ alpha x + \ alpha C) [/ matemáticas].

Esto puede escribirse finalmente como [matemáticas] y = A \ sin (\ alpha x + B) [/ matemáticas], [matemáticas] B = \ alfa C [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] una constante.

Answer 2

Depende de qué tan formal quieras ser. No hay una forma general real de derivar necesariamente una solución a una ecuación diferencial general, por lo que daré algunas derivaciones informales bastante generales que suponen que estamos buscando una solución “analítica”.

Primero, suponga que f (x) tiene una serie de Taylor, [matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty f ^ {(n)} (0) \ frac {x ^ n} {n! }[/matemáticas]. Luego, entrando en términos pares e impares y observando que [matemáticas] f ^ {(n)} (0) = – pf ^ {(n-2)} (0) [/ matemáticas] (al diferenciar la ecuación de movimiento armónico con respecto a [matemática] x [/ matemática] un total de [matemática] (n-2) [/ matemática] veces y evaluando en cero) usted sabe [matemática] f (x) = f (0) \ veces \ suma_ { n = 0} ^ \ infty \ frac {(- p) ^ {2n}} {(2n)!} + f ‘(0) \ times \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- p) ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ Math] y por lo tanto (al reconocer esas series de Taylor) [math] f (x) = f (0) cos (\ sqrt {p} x) + f ‘(0) sin (\ sqrt {p} x) [/ math] [Aparte: había algo de contenido en eso, así que te sugiero que pienses cómo obtuve el primer resultado aplicando solo esa regla de la ecuación diferencial, y luego reconocer la segunda]. Eso le da una solución general basada en el valor inicial de [math] f [/ math] y [math] f ‘[/ math], que es la posición inicial y la velocidad de su objeto.

Ahora, para la unicidad: para ecuaciones lineales (como esta) donde haces suposiciones tan fuertes como lo hicimos nosotros, esto es fácil. Suponga que tiene dos soluciones diferentes, [matemáticas] f_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] f_2 [/ matemáticas], con las mismas posiciones iniciales y velocidad. Ahora, considere su diferencia, [matemáticas] g = f_1-f_2 [/ matemáticas]. Ejercicio fácil para usted: demuestre que [matemáticas] g ” (x) = – pg (x) [/ matemáticas] también, con [matemáticas] g (0) = g ‘(0) = 0 [/ matemáticas]. Dado esto, sabemos que [math] g ” (0) = 0 = g ” ‘(0) = [/ math] … solo en base a nuestra ecuación diferencial, que todas las derivadas de [math] g [/ math ] en el origen son cero. Ahora, en el sentido de que dicha función es cero (es decir, entre funciones analíticas ), sabemos [matemática] g = 0 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] f_1 = f_2 [/ matemática]. [NB: Hay resultados más fuertes; esto es simplemente una prueba bastante ilustrativa de una técnica razonablemente general para comprender la unicidad para ecuaciones lineales de todo tipo, ¡incluso las no homogéneas!]

¿Cómo lo hacemos en la práctica? Bueno, decimos “Supongamos que nuestra solución fuera de la forma [math] e ^ {rx} [/ math] para algunos [math] r [/ math]. Ahora, sabemos [matemáticas] r ^ 2 = -p [/ matemáticas], entonces [matemáticas] r = \ pm i \ sqrt {p} [/ matemáticas] ”. Ahora, cualquier combinación lineal de soluciones de soluciones es una solución . [Es decir, si [matemática] f_1 ” = – pf_1 [/ matemática] y [matemática] f_2 ” = – pf_2 [/ matemática], entonces [matemática] (af_1 + bf_2) ” = – p (af_1 + bf_2 )[/matemáticas]. Tenga en cuenta que el mini ejercicio anterior sobre unicidad se deduce de este, con [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -1 [/ matemáticas].] Por lo tanto, [matemáticas] f = [/ matemáticas] [math] (c_1f_1 + c_2f_2) [/ math] resuelve la ecuación diferencial para cualquier [math] c_1, c_2 [/ math] (¡se les permite ser números complejos!). Dejando [math] f_1 = e ^ {i \ sqrt {p}} [/ math] y [math] f_2 = e ^ {- i \ sqrt {p}} [/ math], simplemente puede resolver [math] f (0) = x_0 [/ math] y [math] f ‘(0) = v_0 [/ math] para obtener sus valores (¡posiblemente complejos!) Para [math] c_1 [/ math] y [math] c_2 [/ math ] para cualquier posición inicial y velocidad. Tenga en cuenta que, en general, puede escribir exponenciales complejos como combinaciones de cosenos y senos, por lo que si lo hace, queda claro que solo las soluciones de valor real emergen de este procedimiento. Sé que este procedimiento parece arbitrario, pero funciona, es la forma más fácil de obtener la solución para ecuaciones lineales más generales, en particular, imagine que ha agregado un término [math] f ‘(x) [/ math] en este método aún funcionaría para una [matemática] r [/ matemática] fija, al menos si el polinomio cuadrático resultante tuviera múltiples raíces (de lo contrario, debe hacer algunas cosas especiales), por lo que es probable que esto sea lo que vaya a hacer en la práctica. Aunque el enfoque de la serie Taylor puede parecer menos como una suposición arbitraria, y siempre puede obtener una serie de esa manera, en realidad, obtener algo útil del polinomio Taylor puede ser … difícil, por decir lo menos.