Se me ocurren dos maneras de interpretar este problema. Una sería que desearía encontrar una secuencia que esté restringida a permanecer en el intervalo [matemáticas] [2, 4] [/ matemáticas] y que también esté aumentando. El ejemplo más simple que se me ocurre en la parte superior de mi cabeza sería [matemáticas] {a_n} \ equiv \ left \ {2 + \ dfrac {2n} {n + 1} \ right \} [/ matemáticas].
La otra forma de interpretar este problema sería que necesitamos demostrar cada secuencia que es
- creciente, y
- se encuentra dentro del intervalo [matemáticas] [2, 4] [/ matemáticas]
En realidad converge. Aunque esto es fácil de entender intuitivamente, para demostrarlo, tenga en cuenta la definición del límite de una secuencia.
Decimos que la secuencia creciente [math] {a_n} [/ math] converge en [math] L \ iff [/ math] por cada [math] \ varepsilon> 0 [/ math], existe un [math] M> 0 [/ math] tal que [math] n> M \ implica L – a_n <\ varepsilon [/ math]. Comience adivinando que [matemáticas] L = 4 [/ matemáticas]. Si encuentra un número [math] \ varepsilon [/ math] para el que no existe tal [math] M [/ math], eso significa que su estimación es demasiado alta. Reemplace [math] L [/ math] con [math] L '= L – \ varepsilon [/ math]. Entonces, sabes que [math] a_n [/ math] siempre se encuentra en el intervalo [math] [2, L '] [/ math]. Haz esto de forma recursiva. Debido a que [matemática] L '[/ matemática] no puede disminuir indefinidamente (es decir, más bajo que [matemática] 2 [/ matemática], el algoritmo debe terminar.
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