¿Cuál es la ecuación del círculo más grande que se puede inscribir en el primer cuadrante debajo de [matemáticas] y = e ^ {- x} [/ matemáticas]?

Answer 1

El centro del círculo es [matemática] (a, a) [/ matemática] para algún radio [matemática] a [/ matemática]. Como el círculo se encuentra tangente a la función, lo normal pasa por el centro del círculo. Deje que el punto donde toca la función sea [matemáticas] (b, e ^ {- b}) [/ matemáticas]

Obtendrá (La pendiente de la derivada del tiempo normal es – 1. La derivada es [matemática] -e ^ {- b} [/ matemática], por lo que la pendiente normal es [matemática] e ^ b [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {ae ^ {- b}} {ab} = e ^ b [/ matemáticas]

Esto da

[matemáticas] a = \ frac {e ^ {- b} -be ^ b} {1-e ^ b} [/ matemáticas]

La distancia entre los puntos también debe ser a.

[matemáticas] (ba) ^ 2 + (e ^ {- b} -a) ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

Resuelva la fórmula anterior sustituyendo el valor de a en términos de b.

[matemáticas] (\ frac {b (1-e ^ b)} {e ^ {- b} -be ^ b} – 1) ^ 2 (1 + e ^ {2b}) = 1 [/ matemáticas]

Esto solo tiene b como variable, use Newton Raphson para obtener una estimación numérica. (verifique en Wolfram Alpha)

[matemática] b = 0.49793892064839785570… [/ matemática]

Luego sustituya en la primera ecuación para obtener el valor de a.

[matemáticas] a = 0.3277256800594015… [/ matemáticas]

Entonces la ecuación del círculo será

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (ya) ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Consideremos un punto en la curva [matemáticas] y = {e} ^ {-x} [/ matemáticas]. Deje que este punto sea B [matemáticas] (a, {e} ^ {- a}) [/ matemáticas].

La pendiente de la tangente a [matemáticas] {e} ^ {- x} [/ matemáticas] en x = a es [matemáticas] – {e} ^ {a} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación de la tangente en B es [matemáticas] (y- {e} ^ {- a}) = – {e} ^ {- a} (xa) [/ matemáticas]

La longitud de las intersecciones OD y OE se puede encontrar poniendo x = 0 e y = 0 en la ecuación de la tangente.

OD = [matemáticas] {e} ^ {- a} (1 + a) [/ matemáticas]

OE = [matemáticas] (1 + a) [/ matemáticas]

Usando el Teorema de Pitágoras,

[matemáticas] DE = \ sqrt {{OD} ^ {2} + {OE} ^ {2}} [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] DE = (1 + a) \ sqrt {{e} ^ {- 2a} +1} [/ matemáticas]

El semiperímetro s del triángulo ODE es (OD + OE + DE) / 2

[matemáticas] s = \ frac {(1 + a) (1+ {e} ^ {- a} + \ sqrt {{{e} ^ {- 2a} +1}})} {2} [/ matemáticas]

El área de ODE es [matemáticas] \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} OD {\ times} OE = \ frac {1} {2} ({1 + a}) ^ { 2} ({e ^ {- a}}) [/ matemáticas]

Utilizando

[matemáticas] sr = A [/ matemáticas]

donde r es el radio del círculo inscrito en ODE

obtenemos [math] r = \ frac {A} {s} = \ frac {1 + a} {1 + e ^ {a} + \ sqrt {1 + e ^ {2a}}} [/ math]

ahora diferenciamos r wrt a y encontramos el valor máximo de r.

El valor máximo de r resulta ser 0.32773.

Por lo tanto, la ecuación del círculo es [matemática] (xr) ^ 2 + (año) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] donde r = 0.32773

Answer 3

La ecuación de ese círculo es [matemática] (xr) ^ 2 + (año) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática]

Los puntos donde se cruza con la curva de la ecuación [matemáticas] y = e ^ {- x} [/ matemáticas] son ​​las soluciones del sistema formado por esas dos ecuaciones. El radio [matemática] r [/ matemática] del círculo que le interesa es aquel para el que el círculo y la curva son tangentes, es decir, para el cual ese sistema tiene una solución única.

Sustituya [matemática] y = e ^ {- x} [/ matemática] en la ecuación del círculo, coloque el resultado bajo la forma [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], estudie la función [matemática] f [/ math] y seleccione el parámetro [math] r [/ math] para el que tiene exactamente un cero.

Probablemente hay soluciones más elegantes, pero estoy bastante seguro de que uno hace el trabajo.

Answer 4

Deje que el centro del círculo sea [matemáticas] (a, a) [/ matemáticas]

Entonces, la ecuación del círculo es: [matemáticas] (xa) ^ 2 + (ya) ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

En el punto donde el círculo y la curva se cruzan: [matemáticas] y = e ^ {- x} [/ matemáticas]

Sustituya [math] y [/ math] en la ecuación anterior:

Obtiene: [matemáticas] x ^ 2-2ax + a ^ 2 = 2ae ^ {- x} -e ^ {- 2x} [/ matemáticas]

Simplifique y descubra [math] a [/ math] en función de [math] x: [/ math]

[matemáticas] (a ^ 2-xe ^ {- x}) ^ 2 = x (x + 2e ^ {- x}) [/ matemáticas]

[math] a ^ 2 [/ math] tiene 2 soluciones:

[matemáticas] a ^ 2 = (x + e ^ {- x}) + (x (x + 2e ^ {- x})) ^ {1/2} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = (x + e ^ {- x}) – (x (x + 2e ^ {- x})) ^ {1/2} [/ matemáticas]

Ahora, [math] a [/ math] tiene que ser solo un valor. Entonces, el término debajo de la raíz cuadrada tiene que ser [math] 0 [/ math]. Para eso, [matemática] x [/ matemática] sería [matemática] 0 [/ matemática] que no es posible. Entonces [matemáticas] (x + 2e ^ {- x}) = 0. [/ Matemáticas]

[math] x = -2e ^ {- x} \ rightarrow [/ math] Ahora, grafica [math] y = x [/ math] y [math] y = -2e ^ {- x} [/ math] en Matlab, y vea dónde se cruzan estas curvas. Ese será su valor de x. Sustituya ese valor en la expresión de [math] a, [/ math] y obtenga su respuesta.

Answer 5

La curva y = e ^ -x se convierte en la tangente para el círculo más grande inscrito debajo de ella.

Entonces dy / dx = -e ^ -x.

Esta tangente al círculo más grande intersecta los ejes y y x.

Obtenga los puntos de intersección y ahí va la solución … encontrará el diámetro del círculo más grande.

Answer 6

1. Deje que [math] (x_1, x_1) [/ math] sea el centro del círculo y [math] (x_2, e ^ {- x_2}) [/ math] sea la intersección del círculo y la curva.
2. Podemos encontrar [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] resolviendo estas dos ecuaciones:

1. La distancia entre [matemáticas] (x_1, x_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_2, e ^ {- x_2}) [/ matemáticas] es [matemáticas] x_1 [/ matemáticas]
2. La pendiente de la línea que pasa a través de [matemática] (x_1, x_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, e ^ {- x_2}) [/ matemática] es normal a [matemática] e ^ {- x} [ / math] que debería ser [math] e ^ {x} [/ math]

Resolver las ecuaciones nos da [matemáticas] x_1 = 0.32772568 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 = 0.49793892 [/ matemáticas]. Entonces la ecuación para el círculo es [matemática] (x-x_1) ^ 2 + (y-x_1) ^ 2 = x_1 ^ 2 [/ matemática] es decir [matemática] (x-0.32772568) ^ 2 + (y-0.32772568) ^ 2 = 0.32772568 ^ 2 [/ matemáticas]

PD: ¡Gracias por Michael Fisher por recordarme mi error!