Cómo resolver la ecuación diferencial del oscilador armónico simple

Answer 1

Darryl Nester ha dado una discusión muy completa sobre la solución, pero deduzco de sus comentarios y del hecho de que no ha votado su respuesta que es posible que no esté completamente satisfecho con ella. Así que pensé en relacionar mi experiencia con este problema, ya que recuerdo hace mucho tiempo que tenía las mismas preguntas. Su primera solución, una combinación lineal de las dos funciones exponenciales complejas linealmente independientes [matemáticas] e ^ {i \ omega t} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ {- i \ omega t} [/ matemáticas] es correcta y completamente general, como ya sabe, pero los coeficientes complejos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] no son completamente arbitrarios, ya que está buscando una solución real . La parte imaginaria de su solución debe ser cero, es decir, [matemáticas] y – y ^ * = (A – B ^ *) \, e ^ {i \ omega t} – (A ^ * – B) \, e ^ {- i \ omega t} = 0 [/ matemáticas]. La independencia lineal de las funciones exponenciales ahora requiere [matemática] B = A ^ * [/ matemática], es decir, los coeficientes deben ser conjugados complejos entre sí, y la solución se convierte en [matemática] y = A \, e ^ {i \ omega t} + A ^ * \, e ^ {- i \ omega t} [/ math]. Hay muchas formas de elegir el coeficiente complejo restante [matemática] A [/ matemática]. Por ejemplo, uno podría establecer [matemáticas] A = – \ frac {1} {2} i C e ^ {i \ phi} [/ matemáticas], donde [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi [ / math] son ​​constantes reales arbitrarias, para obtener [math] y = – \ frac {1} {2} i C \ left (e ^ {i (\ omega t + \ phi)} – e ^ {- i (\ omega t + \ phi)} \ right) = C \ sin {(\ omega t + \ phi)} [/ math], la forma que estaba buscando. Gracias por el A2A.

Answer 2

¿Cómo resuelvo la ecuación diferencial del oscilador armónico simple?

Al observar los pasos que enumeró en su comentario, ha cubierto casi todo, pero su suposición de que el factor de [matemáticas] i [/ matemáticas] es problemático es incorrecta; no tiene que ser un problema en absoluto.

Creo que simplemente ha olvidado los detalles de cómo se resuelve un DE homogéneo utilizando la ecuación auxiliar (AE). Para cualquier raíz [matemática] r [/ matemática] de la AE, y cualquier constante [matemática] A [/ matemática] , [matemática] y = Ae ^ {rx} [/ matemática] resuelve el DE. Por el principio de superposición, podemos sumar soluciones distintas y obtener otra solución, por lo que la solución general viene dada por [matemáticas] y = Ae ^ {i \ omega t} + Be ^ {- i \ omega t} = ( A + B) \ cos \ omega t + (AB) i \ sin \ omega t [/ math].

Ahora aquí está la observación clave: Las constantes [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] pueden ser complejas. En particular, pueden ser conjugados complejos [matemática] A = c-di [/ matemática] y [matemática] B = c + di [/ matemática] (para constantes reales [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ math]), para que tengamos

[matemáticas] y = (A + B) \ cos \ omega t + (AB) i \ sin \ omega t = 2c \ cos \ omega t + 2d \ sin \ omega t [/ matemáticas]

Ahora proceda como en el resto de su solución, y puede escribir la solución “amplitud-cambio de fase” en forma [matemática] y = A \ sin (\ omega t + \ phi) [/ matemática].