Cómo resolver el ODE [matemática] 2y ” – 3y ‘+ y = e ^ x [/ matemática] con los valores iniciales de [matemática] y (0) = 1 [/ matemática] y [matemática] y’ (1 ) = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] 2y ” – 3y ‘+ y = e ^ x [/ matemáticas]

Ecuación auxiliar:

[matemáticas] 2m ^ 2–3m + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica 2m ^ 2–2m-m + 1 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica 2m (m-1) – (m-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica (m-1) (2m-1) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica m = \ dfrac {1} {2}, 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_c = c_1e ^ {\ frac {x} {2}} + c_2e ^ x [/ matemáticas]

Como [math] e ^ x [/ math] aparece en la solución complementaria, dejamos

[matemáticas] y_p = Hacha ^ x [/ matemáticas]

Y de aquí en adelante, tenemos

[matemáticas] y_p ^ {‘} = Hacha ^ x + Ae ^ x [/ matemáticas]

[matemática] y_p ^ {”} = Ax ^ x + Ae ^ x + Ae ^ x = Ax ^ x + 2Ae ^ x [/ math]

[matemáticas] \ implica 2y_ {p} ^ {”} – 3y_p ^ {‘} + y_p = e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 (Ax ^ x + 2Ae ^ x) -3 (Ax ^ x + Ae ^ x) + Ax ^ x = e ^ x [/ math]

[matemáticas] \ implica Ae ^ x = e ^ x [/ matemáticas]

La comparación de los coeficientes de los lados izquierdo y derecho da

[matemáticas] A = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] y_p = xe ^ x [/ matemáticas]

Y la solución final

[matemáticas] y = y_c + y_p [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = c_1e ^ {\ frac {1} {2} x} + c_2e ^ x + xe ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] y (0) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_1 + c_2 = 1 …… .. [i] [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= \ dfrac {1} {2} c_1e ^ {\ frac {x} {2}} + c_2 e ^ x + xe ^ x + e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘(1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} c_1e ^ {\ frac {1} {2}} + c_2e + e + e = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_1e ^ {\ frac {1} {2}} + 2c_2e = -2e [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_1 + 2c_2 \ sqrt {e} = – 2 \ sqrt {e} ……. [ii] [/ matemáticas]

[ii] – [i]

[matemática] \ implica (2 \ sqrt {e} -1) c_2 = -2 \ sqrt {e} -1 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica c_2 = \ dfrac {2 \ sqrt {e} +1} {1-2 \ sqrt {e}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica c_1 = 1- \ dfrac {2 \ sqrt {e} +1} {1-2 \ sqrt {e}} = \ dfrac {1-2 \ sqrt {e} -2 \ sqrt {e} -1} {1-2 \ sqrt {e}} = \ dfrac {4 \ sqrt {e}} {2 \ sqrt {e} -1} [/ matemáticas]

Poner esto en la respuesta final produce …

[matemáticas] y (x) = \ left (\ dfrac {4 \ sqrt {e}} {2 \ sqrt {e} -1} \ right) e ^ {\ frac {1} {2} x} + \ left (\ dfrac {2 \ sqrt {e} +1} {1-2 \ sqrt {e}} \ right) e ^ x + xe ^ x [/ math]

Answer 2

Aquí están los principios fundamentales. La ecuación es lineal. Si no hay un término constante o un término que sea función de x, entonces se dice que es homogéneo y la suma de dos soluciones es otra solución. En su caso, el término e ^ x significa que la ecuación no es homogénea. La solución general es cualquier integral particular más la solución general a la ecuación homogénea.

Éste tiene coeficientes constantes que siempre tienen y = Ae ^ (kx) como solución a la ecuación homogénea. Entonces 2y ” – 3y ‘+ y = 2Ak ^ 2 e ^ (kx) – 3Ak e ^ (kx) + Ae ^ (kx) = 0. Por lo tanto, 2k ^ 2 – 3x + 1 = 0 = (2k-1 ) (k-1) yk = 1 o k = 1/2. Por lo tanto, la solución general a la ecuación homogénea es Ae ^ x + Be ^ (x / 2): recuerde que puede agregar dos soluciones.

Las integrales particulares son más difíciles de encontrar. Un truco sin justificación obvia es la denominada variación de constantes. Intenta hacer que A sea una función de x. De hecho, intente y = Cxe ^ x, luego 2y ” – 3y ‘+ y = 2C (2e ^ x + xe ^ x) – 3C (e ^ x + xe ^ x) + Cxe ^ x = e ^ x, es decir coeficientes de ecuación de e ^ x y xe ^ x, C = 1.

Entonces la integral general es Ae ^ x + Be ^ (x / 2) + xe ^ x.

Para encontrar A y B, sustituya las condiciones iniciales y resuelva A y B.

Necesito dejarte para que hagas parte del trabajo o no aprenderás, así que me detendré allí.

Answer 3

Answer 4

Esta ODE de segundo orden tiene una solución general dada por:

[matemáticas] Y_0 + Y_1 [/ matemáticas]

Donde Y_0 es la solución a ODE [matemáticas] 2y ” – 3y ‘+ y = 0 [/ matemáticas] (Eq1) y [matemáticas] Y_1 [/ matemáticas] es una solución específica a ODE [matemáticas] 2y’ ‘- 3y ‘+ y = e ^ x [/ math] (Eq2)

Debería poder resolver el (Eq1) usted mismo utilizando el método que se enseña en clase (de lo contrario, mire estas notas, http://www.math.psu.edu/tseng/cl …)

Ahora, para encontrar una solución a (Eq2), ¿comenzaría tratando de encontrar una solución en forma de una combinación lineal de funciones exponenciales?