Cómo resolver [math] y ” = – \ frac a {y ^ 2} [/ math]

Answer 1

Las respuestas aquí estaban en el camino correcto, y Viktor casi llegó allí. Entonces, solo agregaré el toque final.

Como otros han mencionado, puedes multiplicar ambos lados por [math] 2y ‘[/ math],

[matemática] 2y ‘y’ ‘= -2a y ^ {- 2} y’ [/ matemática]

Luego reconoce que ambos lados son solo derivados de algunas funciones, por lo que integra ambos lados para obtener

[matemáticas] y ‘^ {2} = 2a y ^ {- 1} + C [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ frac {dy} {\ sqrt {\ frac {2a} {y} + C}} = dx [/ matemáticas]

que es donde concluyó Viktor. Desde aquí, puede hacer la sustitución, [matemática] y = 2a / Cu ^ 2 [/ matemática] que le da

[matemáticas] – \ frac {4a} {C} \ frac {du} {u ^ 3} \ frac {1} {\ sqrt {u ^ 2 + 1}} = dx [/ matemáticas]

Luego realiza una segunda sustitución, [math] u = \ tan v [/ math], que, junto con la identidad [math] \ tan ^ 2 v + 1 = \ sec ^ 2 v [/ math], le da

[matemáticas] – \ frac {4a} {C} \ frac {\ cos ^ 2 v} {\ sin ^ 3 v} dv = dx [/ math]

Luego, integras ambos lados,

[matemáticas] – \ int \ frac {4a} {C} \ frac {\ cos ^ 2 v} {\ sin ^ 3 v} dv = \ int dx [/ math]

Puede encontrar la integral a la izquierda en una tabla de integrales, o simplemente puede conectarla a Mathematica, y encontrará que puede integrar ambos lados. Hacerlo da

[matemáticas] – \ frac {4a} {C} \ left [\ frac {1} {2} \ ln \ cot \ left (\ frac {v} {2} \ right) + \ frac {1} {8} \ left (\ sec ^ 2 \ left (\ frac {v} {2} \ right) – \ csc ^ 2 \ left (\ frac {v} {2} \ right) \ right) \ right] = x + D [/matemáticas]

donde [math] D [/ math] es la segunda constante de integración (hay dos, porque es una ecuación diferencial de segundo orden).

Ahora, por supuesto, necesita expresar [matemáticas] v [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] y [/ matemáticas], invirtiendo las sustituciones. Será complicado, pero terminarás con una ecuación que relaciona [matemática] y [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática], aunque es posible que no puedas resolver analíticamente para [matemática] y [/ matemática] . Sin embargo, puede proporcionar algunas condiciones iniciales / límite para fijar las constantes [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas], y luego trazar [matemáticas] y [/ matemáticas] versus [matemáticas] x [/ matemáticas]. Eso te mostrará la solución.

Answer 2

Ya tienes dos respuestas correctas, pero déjame ampliarlas un poco.

¿Qué sucede cuando diferencia [matemática] y ‘^ 2 [/ matemática]? Obtienes [matemáticas] 2y’y ” [/ matemáticas], ¿verdad?

¿Y qué sucede cuando diferencia [matemática] 1 / a [/ matemática]? Obtienes [matemáticas] -y ‘/ y ^ 2 [/ matemáticas], ¿verdad?

Entonces, multiplique su ecuación por [matemáticas] y ‘[/ matemáticas]. Usted obtiene

[math] y’y ” = – \ dfrac {ay ‘} {y ^ 2}, [/ math]

que es lo mismo que

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1} {2} y ‘^ 2 \ right)’ = \ left (\ dfrac {a} {y} \ right) ‘, [/ math]

que es trivialmente integrable, y obtienes

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} y ‘^ 2 = \ dfrac {a} {y} + C. [/ matemáticas]

Escribir [matemáticas] y ‘= dy / dx [/ matemáticas] y reorganizar un poco conduce a

[matemáticas] \ dfrac {1} {\ sqrt {\ dfrac {2a} {y} + C}} dy = dx, [/ matemáticas]

que puede integrarse directamente. La integral en el LHS no es agradable, ni puede obtener una solución explícita de forma cerrada para [math] y (x) [/ math] solo en términos de funciones elementales, por lo que es tan buena como la solución, pero es perfectamente adecuado, por ejemplo, para cálculos numéricos.

Answer 3

Sea v = dy / dt, y ”= dv / dt = (dv / dy) (dy / dt) = v (dv / dy) = – (a / y ^ 2)

La integral de v dv = Int. de – (a / y ^ 2) dy

(1/2) v ^ 2 = + a / a

v ^ 2 = 2a / y + c

v = dy / dt = (2a / y + c) ^ (1/2)

dt = dy / (2a / y + c) ^ (1/2) ordena esto

dt = √y dy / √ (2a + cy), hacer algunas sustituciones

Sea u = y ^ (1/2), du = (1/2) y ^ (- 1/2) dy, luego dy = 2 y ^ (1/2) du = 2 u du

Ahora dt = 2 (u ^ 2) du / √ (2a + cu ^ 2) deje 2a / c = k ^ 2 entonces

dt = (2 / √c) (u ^ 2) du / √ (k ^ 2 + u ^ 2), que es bueno en diff. eqns. ?

Sin embargo, la observación ayuda, observe la parte du / √ (k ^ 2 + u ^ 2) de la expresión, si busca el trigonometraje normal. funciones, nada encajará

Si te tomas un tiempo para familiarizarte con el pecado hiperbólico, cos, etc.

mira, tienes; u ^ 2 / √ (k ^ 2 + u ^ 2), el denominador indica un arco sinh (u)

Como cosh (u) = √ (1+ sinh ^ 2 (u)), (es el + aquí que nos da problemas, generalmente es un signo – en la expresión),

Cuando vea que el denominador tiene una expresión √k ^ 2 + u ^ 2) puede que lo arrullen usando un arco tan (u), recuerde que no hay raíz cuadrada en el arco tan (u).

Eso significa que tenemos que “buscar” otra salida y observar que algunas funciones hiperbólicas pueden ayudar.

Entonces, para acortar una larga historia, el resultado de la integración

es t = (1 / 2√c) (u) √ (k ^ 2 + u ^ 2) – (k ^ 2/2) arco sinh (u / k) + c

No le estoy contando su negocio ni nada, tendrá sentido para usted si escribe el problema varias veces y se da un tiempo para observar cómo están conectadas las diferentes expresiones

Editar; Me equivoco al decir que uno no debería usar la función tan en

√ (1 + u ^ 2), si u = tan x entonces √ (1 + u ^ 2) = √sec ^ 2 x = sec x = (1 / cos), eso también podría ser útil.

Answer 4

Use un método separable variable para resolver, cambie el término y e integre dos veces para obtener la respuesta, mientras se asegura de agregar constantes arbitrarias cada vez que se integra.

Answer 5

Christian Claudel tiene razón. Multiplica ambos lados por y ‘e integra. A la izquierda obtienes [math] \ Delta y ‘^ 2/2 [/ math], y a la derecha, [math] a / y [/ math]. Esta ecuación es la misma que la de un objeto (meteorito) que realiza un impacto directo en la Tierra desde el espacio exterior. Ese problema se puede resolver utilizando un argumento de energía: la energía cinética en cualquier momento ([math] \ propto y ‘^ 2 [/ math]) es la energía inicial más esa disminución en la energía potencial gravitacional ([math] \ propto 1 / y [/ matemáticas]).

Answer 6

No dices qué es. El caso a = -1 fue respondido en

¿Cuál es la solución para [math] \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} = \ dfrac {1} {y ^ 2} [/ math]?

todo a <0 puede reducirse a eso cambiando la variable independiente de x a t = x sqrt (-a)

incluso si a es positivo, la sustitución funciona, pero, por supuesto, ¿t es puramente imaginaria?

si desea trabajar solo con números reales y a> 0, configure t = x sqrt (a)

es lo mismo que y ” = -1 / y ^ 2

de hecho, sustituya y = -z y se convierte en z ” = 1 / z ^ 2, por lo que es realmente lo mismo.

Answer 7

separe las variables e integre ambos lados. obtendrá cubos y sobre 3 en el lado izquierdo y en + C a la derecha. sustituir con los límites para resolver C

Answer 8

D ^ 2 y = -a / y ^ 2

D se encuentra d / dx

Integración (-y ^ 2 / a) d ^ 2y = integración d ^ 2x

-y ^ 3 / 3a dy = dx + c

De nuevo integre

-y ^ 4 / 12a = x + C

C es integral constante.

Answer 9

Multiplica por y ‘en ambos lados e integra con el tiempo