Se le da que [matemáticas] y = t ^ t [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ cos {t} [/ matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] ?

Answer 1

Entonces, se trata de ecuaciones paramétricas, donde cada ecuación es en términos de t. Hay varias formas de hacer esto que son bastante simples y no requieren mucho más conocimiento que el conocimiento que supongo que ya tiene con respecto a derivados y funciones.

Un método es obtener la derivada de y y x con respecto a t y luego dividir la derivada de y por la derivada de x.

y (t) = t ^ t

ln (y) = ln (t ^ t)

ln (y) = tln (t)

y ‘/ y = (t * 1 / t) + ln (t)

y ‘/ y = ln (t) + 1

sustituya en y original por y en el paso anterior

y ‘/ (t ^ t) = ln (t) + 1

y ‘= (t ^ t) * (ln (t)) + 1

En lo anterior, diferenciaba ambos lados usando la regla del producto para derivados y la propiedad de potencia de los logaritmos. Luego aislé la y ‘para obtener la ecuación de la derivada de y con respecto a x. Ahora podemos tomar la derivada de x

x (t) = cos (t)

puede saber esto, pero la derivada de cos (t) es -sin (t)

x ‘= -sin (t)

Entonces ahora w tiene y ‘= (t ^ t) * (ln (t)) + 1 y x’ = – sin (t). Esto puede reescribirse usando la notación de Leibniz: dy / dt = (t ^ t) * (ln (t)) + 1 —— dx / dt = -sin (t)

entonces simplemente dividimos el cambio en y por el cambio en x: (dy / dt) / (dx / dt) → (dy / dt) * (dt / dx) → dy / dx

((t ^ t) * (ln (t)) + 1) / (- sin (t)) es su respuesta final no simplificada

Answer 2

[matemáticas] y = t ^ t = (e ^ {\ ln t}) ^ t = e ^ {t \ ln t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = e ^ {t \ ln t} (t \ dfrac 1 t + \ ln t) \ dfrac {dt} {dx} = (1 + \ ln t) \ t ^ t \ \ dfrac {dt} {dx} [/ math]

[matemáticas] x = \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} = – \ sin t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} = – \ dfrac {1} {\ sin t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {(1+ \ ln t) \ t ^ t} {\ sin t} [/ math]

Por lo general, desea la derivada en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas], por lo que sustituimos [matemáticas] t = \ arccos x. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {(1+ \ ln \ arccos x) (\ arccos x) ^ {\ arccos x}} {\ sin \ arccos x} [/ math]

Eso es bastante feo. [math] \ sin \ arccos x [/ math] puede simplificarse como [math] \ sqrt {1-x ^ 2}. [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {(1+ \ ln \ arccos x) (\ arccos x) ^ {\ arccos x}} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]

Todavía feo pero posiblemente correcto.

Answer 3

y = t ^ t

Toma en ambos lados

ln y = t ln t

Dif. wrt t,

1 / y * dy / dt = t * 1 / t + ln t

dy / dt = (1 + ln t) y …… (1)

x = cos t

Diff wrt t,

dx / dt = – sen t… .. (2)

Ahora, (1) / (2)

(dy / dt) / (dx / dt) = (1 + ln t) y / -sin t

Pon el valor de y,

dy / dx = – (1+ ln t) t ^ t / sin t (ans)