¿Por qué decimos que no podemos ‘derivar’ la ecuación de Schrodinger?

Answer 1

En el contexto no relativista, el estado del universo / sistema se puede pensar completamente en términos de una función de onda (y su evolución).

Dado que queremos mantener la función de onda a la longitud de la unidad, es natural que las transformaciones sean unitarias. (Teorema de Wigner – Wikipedia)

Ahora podemos decir que las matrices unitarias deben tener cierta descomposición de Eigen porque son matrices normales (todas las matrices normales son diagonalizables). Ahora puede mostrar fácilmente que los valores de Eigen deben estar en el círculo unitario (exp (2pi x)). (Demuestre que los valores propios de una matriz unitaria tienen un módulo $ 1 $)

Según la fórmula de Silvester (fórmula de Sylvester – Wikipedia), U = exp (iH) para alguna matriz hermitiana H. Dado que es hermitiana, podemos pensar que es observable, es decir, el hamiltoniano. Lo que da lugar a la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.

Como la derivada de exp (iH) será H exp (iH), naturalmente ha derivado la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

Ahora observe que H es de hecho la conservación implicada por la simetría del tiempo (teorema de Noether – Wikipedia). En la mecánica clásica que se llama Energía, también podemos usar el mismo nombre en mecánica cuántica. Concluyendo la prueba.

Ahora, la ecuación real de H viene debido al principio de transferencia que dice que, en los límites, QM debería comportarse de manera clásica.

Answer 2

La ecuación de Schrodinger no se puede derivar. Fue pensado usando argumentos lógicos y hasta ahora parece haber funcionado experimentalmente.

Las ecuaciones son esencialmente una reescritura para la conservación de energía:

E = T + V

Donde T

es la energía cinética y V

Es el potencial. Sin embargo, para ser más explícitos, debemos trabajar con los operadores (si no está seguro de qué operadores son, sugiero que los busque; esto le dará una mejor comprensión de lo que está sucediendo).

El operador KE proporciona la KE para una partícula:

T ^ = – ℏ22m∂2∂x2

Esto proviene del operador de impulso de la partícula / onda p ^ = – ih∂ / ∂x

. Usas esto en la ecuación de mecánica clásica análoga para KE para obtener T ^

(Intenta hacer esto como ejercicio).

Así que ahora nos queda solo armarlo todo. La primera ecuación se convierte en:

−ℏ22m∂2Ψ∂x2 + V (x) Ψ = EΨ

Y definimos el Hamiltoniano H ^ como:

H ^ = – ℏ22m∂2∂x2 + V (x)

Así:

H ^ Ψ = EΨ

Answer 3

La ecuación de onda de Schrodinger es como el primer principio que no tiene prueba teórica. Otros ejemplos de primeros principios son las leyes del movimiento de Newton, que tampoco tienen pruebas teóricas.