¿Cuándo necesitamos resolver ecuaciones de segundo o mayor orden?

Answer 1

En el libro de Isaac Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Los principios matemáticos de la filosofía natural), describió la física del movimiento en términos de la posición de un objeto, [matemáticas] x [/ matemáticas] y el impulso de un objeto [matemáticas] p = m \ dot x [/ matemáticas]. También discutió el concepto de una fuerza , como la única cosa que podría cambiar el estado físico de un objeto, y afirmó que la fuerza total sobre un objeto era igual a la tasa de cambio temporal de su momento, [matemáticas] F = \ dot p = \ dot m \ dot x + m \ ddot x [/ math].

También discutió leyes de fuerza específicas, como la ley de la gravedad. El resultado final es que, en la formulación de Newton, casi todo el movimiento está definido por ecuaciones diferenciales de segundo orden, o sistemas de ellas.

A Euler y Lagrange se les atribuye la formulación de un método alternativo para tratar con la mecánica que era equivalente al método de Newton. El método consiste básicamente en escribir una expresión particular (el “lagrangiano”) en términos de [matemáticas] x_n, \ dot x_n [/ matemáticas] (o, en términos más generales, [matemáticas] q_n, \ puntos q_n [/ matemáticas] , posiciones y velocidades generalizadas), y a través de una transformación matemática, generar un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden que se resolverá describiendo el estado de movimiento del sistema.

Hamilton mejoró esto (ligeramente) modificando el método de Euler y Lagrange para que del lagrangiano, se pueda obtener una expresión diferente, el “hamiltoniano”, en términos de no posiciones y velocidades, sino posiciones y momentos (escrito como [matemáticas] q_n, p_n [/ math]). Dado el hamiltoniano, puede obtener un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer grado. El problema es que (a) hay el doble de ecuaciones diferenciales parciales de primer grado que las ecuaciones de segundo orden del método lagrangiano, y (b) Cada par de ecuaciones tiene la forma [matemáticas] \ frac {dp} {dt} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q_i}, \ frac {dq} {dt} = \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} [/ math], lo que no es una gran simplificación en algunos casos .

Entonces, la respuesta general es: las ecuaciones de segundo orden se inventaron para resolver problemas de física, y han seguido siendo importantes para ellos desde entonces.

Answer 2

Un ejemplo simple para las ecuaciones diferenciales de segundo orden es el sistema de masa de resorte, donde desea conocer la posición x de la partícula unida al resorte en cualquier momento t. La forma más general de ecuación diferencial para un sistema de masa de resorte es [matemática] m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} + B \ frac {dx} {dt} + kx = f (t) [/ matemática ], donde x es la posición de la partícula (en relación con el equilibrio), m es la masa de la partícula, B es el coeficiente de fuerza de amortiguación (unidades de kg / s), k es la constante del resorte (N / m).

También hay aplicaciones en ingeniería eléctrica, aunque no estoy familiarizado con ellas.