Cómo hacer la integración [math] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {x ^ 2} {y (1 + x ^ 3)} [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {x ^ 2} {y \ left (1 + x ^ 3 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle y \, \ mathrm {d} y = \ frac {x ^ 2} {1 + x ^ 3} \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int y \, \ mathrm {d} y = \ int \ frac {x ^ 2} {1 + x ^ 3} \, \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad \ text {Let} u = x ^ 3 + 1 [/ math]

[matemática] \ displaystyle \ qquad \ implica \ mathrm {d} u = \ mathrm {d} \ left (x ^ 3 + 1 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad \ implica \ mathrm {d} u = \ mathrm {d} x ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad \ implica \ mathrm {d} u = 3x ^ 2 \, \ mathrm {d} x [/ math]

[math] \ displaystyle \ qquad \ implica \ mathrm {d} x = \ frac {1} {3x ^ 2} \, \ mathrm {d} u [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} y ^ 2 = \ int \ frac {x ^ 2} {u} \ frac {1} {3x ^ 2} \, \ mathrm {d} u [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 2 = 2 \ int \ frac {1} {3u} \, \ mathrm {d} u [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 2 = \ frac {2} {3} \ int \ frac {1} {u} \, \ mathrm {d} u [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 2 = \ frac {2} {3} (\ ln | u | + C) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 2 = \ frac {2} {3} \ ln | u | + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 2 = \ frac {2} {3} \ ln \ left | x ^ 3 + 1 \ right | + C [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} & = \ dfrac {x ^ 2} {y (x ^ 3 + 1)} \\\ int y \, \ mathrm dy & = \ int \ dfrac {x ^ 2} {x ^ 3 + 1} \ mathrm dx \\\ dfrac {y ^ 2} 2 & = \ dfrac13 \ ln | x ^ 3 + 1 | + C \ end {align} \ tag *{}[/matemáticas]

Sencillo.

Answer 3

Primero, coloque todos los términos xey en lados separados:

[matemáticas] y dy = \ frac {x ^ 2} {1 + x ^ 3} dx [/ matemáticas]

luego integre, reconociendo que el término en la parte superior es un tercio de la derivada de la línea inferior.

[matemáticas] \ frac {1} {2} y ^ 2 = \ frac {1} {3} \ log (1 + x ^ 3) + C [/ matemáticas]

El problema se hace esencialmente ahora. Puede intentar reorganizar las cosas para que la solución se vea más ordenada.

Answer 4

Esta es una ecuación diferencial separable, por lo tanto, traiga todos los términos y a un lado y todos los términos x al otro lado e integre ambos lados.

Answer 5

Multiplicas todo por ydx. Esto le da ydy = x ^ 2 / (1 + x ^ 3) dx. Dado que el numerador es la derivada del denominador en el lado derecho, excepto por un factor de 3, es fácil de integrar. Integrando ambos lados terminamos con (y ^ 2) / 2 = (1/3) ln (1 + x ^ 3) si no me he equivocado al intentar hacer esto en mi teléfono.