Mathematica, o algún otro paquete de álgebra computacional.
Pero en serio, no existe un método general para hacerlo, pero hay varios trucos que parecen surgir a menudo, al menos en problemas de física. Sin embargo, para las ecuaciones diferenciales ordinarias, el único método de prueba completa que se me ocurre es el método de Frobenius. En última instancia, esto equivale a encontrar una solución como una expansión en serie. Siempre debería funcionar, pero quién sabe si la serie que obtienes incluso converge. A veces hay una ley de conservación que le permite reducir su ecuación a una ecuación de primer orden (primera integral).
Para ecuaciones diferenciales parciales, muchas de las que ocurren en física parecen ser susceptibles de separación de variables. Esto, en el mejor de los casos, reduce su problema a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
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