La notación de Leibniz para la derivada será útil aquí. Suponga que y es una función de una variable x. Reescribe y ‘(x) como dy / dx e y’ ‘(x) como d²y / dx².
La ecuación ahora es d²y / dx² + (1 + 4i) dy / dx + y = 0.
Lo que pasa con el d / dy es que puede verse como un operador: el operador diferencial. (Opera en una función y da su derivada como salida). Deje que este operador se denote con ‘p’.
dy / dx = py
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d²y / dx² = d / dx · dy / dx = p · py = p²y
Entonces la ecuación es p²y + (1 + 4i) py + y = 0.
El operador p es, a todos los efectos prácticos, una variable por comportamiento. Por lo tanto, elimine y a lo largo de la ecuación y quedará con
p² + (1 + 4i) p + 1 = 0.
Resuelve esta ecuación cuadrática en p. (Tendrá que sacar la raíz cuadrada de una cantidad compleja, pero esa es otra historia). Elija el valor que se adapte a su propósito y la condición y ‘(0) = 0 mejor (creo que ambas raíces son satisfactorias; la expresión es muy complicado), y poner
p = d / dx.
Postmultiply por y:
py = dy / dx
Y obtener la solución. Esta integración es bastante simple.