¿Por qué las soluciones de ecuaciones diferenciales tienen que ocurrir en un intervalo? Qué significa eso?

Answer 1

Esto es lo que creo que estás preguntando. Asumiré que hay una solución ‘verdadera’ para una ecuación diferencial en cuestión. Es decir, hay una función diferenciable que puede manipularse para obtener la ecuación diferencial dada.

Veamos algunas formas alternativas de definir una solución.

Si solicitáramos una ‘solución’ a la ecuación diferencial en un punto, suponiendo que esto fuera posible, obtendríamos una función que se cruza con la verdadera solución de df en ese punto.

Si solicitáramos una ‘solución’ para el df en algún número finito de puntos, obtendríamos una función que se cruza con la verdadera solución del df en esos puntos.

En ninguno de los casos podríamos esperar obtener la verdadera solución.

Sin embargo, al insistir en que la solución esté “por encima de un intervalo”, estamos exigiendo que la solución corresponda a la solución verdadera al menos en ese intervalo.

Pero, por supuesto, esta es una gran simplificación excesiva. Espero que sea lo que estabas preguntando.

Answer 2

Una ecuación diferencial se define por algo como [math] dy / dx = f (y, x) [/ math]. El problema clásico para las ecuaciones diferenciales es encontrar una solución de la ecuación dada una condición inicial del tipo [math] y = y_0 [/ math] en [math] x = x_0 [/ math]. Ahora suponga que la variable x es real. Entonces, el conjunto máximo de definición será un intervalo y la solución será única durante ese intervalo.

Pero podría haber considerado fácilmente alguna ecuación sobre conjuntos que no son intervalos. Considere, por ejemplo, la ecuación [math] dy / dx = 1 / x [/ math] sobre R – {0}. La solución general será [matemática] y = ln (-x) + C _- [/ matemática] sobre [matemática] R _- ^ * [/ matemática] y [matemática] y = ln (x) + C _ + [/ matemática ] sobre [matemáticas] R _ + ^ * [/ matemáticas]. Es decir, tenemos dos constantes para establecer en lugar de una porque R – {0} no está conectado.

También podríamos considerar la ecuación sobre el complejo y el dominio de definición no será un intervalo. El dominio de definiciones que garantiza la unicidad de la solución (si existe) al Problema de valor inicial son los conectados. Y sobre lo real, los conjuntos conectados son los intervalos.

Answer 3

Hay muchas ecuaciones diferenciales para las cuales esto no es cierto. La función exponencial se define para todo C y es una solución de un diff. ecuación. La cuestión es que cada diferencial de una solución es continua. Sobre espacio compacto máx. y min. existe. Eso significa que la función es continua Lipschitz sobre espacio compacto. Esto es necesario para el teorema de Picard-Lindelöf.