Debido a que esto se siente como tarea, no he dado la respuesta final, pero describí el proceso de solución.
Al escribir [matemáticas] D [/ matemáticas] para representar la diferenciación con respecto a [matemáticas] t [/ matemáticas], se pueden escribir como [matemáticas] (D ^ 2 + 16) x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] (D ^ 2 + 16) y = 2 \ sin (4t) [/ matemáticas].
El primero de estos DE es lineal y homogéneo (porque es igual a 0), con coeficientes constantes. La familia de soluciones está relacionada con las raíces de la ecuación auxiliar [matemáticas] r ^ 2 + 16 = 0 [/ matemáticas]; a saber, [matemática] r = \ pm 4i [/ matemática], lo que significa que [matemática] x = C_1 \ sin (4t) + C_2 \ cos (4t) [/ matemática]. Encontramos [matemática] C_1 [/ matemática] y [matemática] C_2 [/ matemática] resolviendo [matemática] 0 = x (0) = C_1 \ cdot 0 + C_2 \ cdot 1 [/ matemática] y [matemática] 1 = \ dot x (0) = 4C [/ matemática] [matemática] _1 \ cdot 1-4C_2 \ cdot 0 [/ matemática].
El segundo DE no es homogéneo, por lo que la solución tiene la forma [matemática] y_h + y_p [/ matemática] donde [matemática] y_h [/ matemática] (a veces llamada la solución complementaria ) resuelve la ecuación homogénea [matemática] (D ^ 2 + 16) y = 0 [/ math], y [math] y_p [/ math] (una solución particular ) es cualquier solución para el segundo DE. Ya sabemos que [math] y_h = C_3 \ sin (4t) + C_4 \ cos (4t) [/ math]. Para encontrar [math] y_p [/ math], utilizamos el método de coeficientes indeterminados, que utiliza el hecho de que si [math] y_p [/ math] y sus derivados se pueden combinar para obtener [math] 2 \ sin ( 4t) [/ math], entonces [math] y_p [/ math] debe tener la forma [math] t ^ n [A \ sin (4t) + B \ cos (4t)] [/ math], donde [math ] n [/ math] es el número entero no negativo más pequeño, de modo que [math] y_p [/ math] no es una solución para el DE homogéneo. (En este caso, eso significa que necesitamos [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]).
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Si [matemáticas] y_p = t [A \ sin (4t) + B \ cos (4t)] [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ dot y_p = (A-4Bt) \ sin (4t) + (B + 4At ) \ cos (4t) [/ math] y [math] \ ddot y_p = (-8B-16At) \ sin (4t) + (8A-16Bt) \ cos (4t) [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] (D ^ 2 + 16) y_p = -8B \ sin (4t) + 8A \ cos (4t) [/ matemáticas]; dado que queremos que esto sea igual a [matemáticas] 2 \ sin (4t) [/ matemáticas], claramente necesitamos [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] B = – \ frac {1} {4} [/ matemáticas].
Esto proporciona la solución general [matemáticas] y = C_3 \ sin (4t) + C_4 \ cos (4t) – \ frac {1} {4} t \ cos (4t) [/ matemáticas]. Para encontrar [matemáticas] C_3 [/ matemáticas] y [matemáticas] C_4 [/ matemáticas], resuelva [matemáticas] 0 = y (0) = C_3 \ cdot 0 + C_4 \ cdot 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 = \ dot y (0) = 4C_3 \ cdot 1-4C_4 \ cdot 0- \ frac {1} {4} [/ math].