¿Cuál es la solución para [math] \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} = \ dfrac {1} {y ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Dices que “solo quieres saber la solución y no el método”. Cuando empiezo a escribir, veo que dos métodos de solución (esencialmente el mismo) han sido presentados (por Anirban Ghoshal y Awnon Bhowmik), ninguno de los cuales ha culminado en una solución completa (por completo, quiero decir hasta dos constantes arbitrarias de integración junto con suposiciones que deben hacerse sobre la naturaleza de sus valores y de los posibles valores de la variable [math] y [/ math]). Entonces, para dar un cierre aquí, intentaré completar su solución para usted, ya que creo que su método es correcto. Como Anirban lo llevó más lejos, y también especificó más completamente los supuestos que hizo ([matemática] C> 0, \, \, y> 0 [/ matemática]), comenzaré con su primera integral de la ODE (la misma como lo encontró Awnon, y dónde dejó su solución):

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt {\ dfrac {y} {Cy-2}} \, dy = x + C_1. [/matemáticas]

Después de Anirban, realice el cambio de variable a [math] y = t ^ 2 \, \, [/ math], [math] dy = 2t \, dt [/ math], llevando la integral a

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {2t ^ 2} {\ sqrt {Ct ^ 2 – 2}} \, dt = x + C_1. [/ math]

La integral de la izquierda se puede integrar por partes con [math] u = (Ct ^ 2 – 2) ^ {1/2} / C \, [/ math], [math] \, \, dv = 2 \, dt [/ math], [math] \, du = t (Ct ^ 2 – 2) ^ {- 1/2} \, [/ math], [math] \, v = 2t [/ math], para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {2t} {C} \ sqrt {Ct ^ 2 – 2} – \ dfrac {2} {C} \ int \ sqrt {Ct ^ 2 – 2} \, dt = x + C_1. [/matemáticas]

La integral final que involucra la raíz cuadrada es desordenada, pero un cambio de variables a [math] z = \ sqrt {C / 2} \, t \, \, [/ math], [math] dz = \ sqrt {C / 2} \, dt \, \, [/ math] lo lleva a

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {2t} {C} \ sqrt {Ct ^ 2 – 2} – \ dfrac {4} {C \ sqrt {C}} \ int \ sqrt {z ^ 2 – 1} \, dz = x + C_1. [/ matemáticas]

Simplemente empeora, porque ahora, por lo que puedo decir, debe introducir la función secante a través de [math] z = \ sec {\ theta} [/ math], terminando con una integral de [math] \ sec ^ 3 {\ theta} – \ sec {\ theta} [/ math]. En lugar de pasar por todo eso, solo te daré el resultado final, que aparentemente es lo que realmente quieres saber:

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {t} {C} \ sqrt {Ct ^ 2 – 2} + \ dfrac {2} {C \ sqrt {C}} \ ln {\ big (Ct + \ sqrt {C} \ sqrt {Ct ^ 2 – 2} \, \ big)} = x + C_1, [/ math]

o, en términos de la variable original [math] y = t ^ 2 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {\ sqrt {y}} {C} \ sqrt {Cy – 2} + \ dfrac {2} {C \ sqrt {C}} \ ln {\ big (C \ sqrt {y} + \ sqrt {C} \ sqrt {Cy – 2} \, \ big)} = x + C_1. [/ math]

Answer 2

Esta es una oda autónoma no lineal de segundo orden, de la forma y ” = f (y). (autónomo significa que la variable independiente no aparece explícitamente). Todas estas ecuaciones pueden integrarse al menos una vez multiplicando por y ‘o, de manera equivalente, utilizando y como variable independiente.

Parece ser un problema de libro de texto para el cual el estudiante debe usar la propiedad autónoma para derivar la solución general. Ese es el enfoque adoptado por los solucionadores anteriores.

No repetiré la derivación. En cambio, me centraré en lo que podemos aprender sobre las soluciones sin resolver el problema.

1) Como la oda es autónoma, la solución debe ser de la forma y = f (x-x0), donde x0 es una constante arbitraria. Esto se debe a que el origen de la coordenada x se puede cambiar a voluntad sin cambiar la ecuación.

2) la oda es invariante bajo reflexión: x-x0 -> – (x-x0). Se deduce que f (x-x0) debe ser par

3) sea y = y0 en x = x0. O y0 = 0 o y0 no es 0. Diferimos la consideración del caso especial y0 = 0 hasta el final.

4) Suponga que y0 no es 0.

Entonces podemos reescalar las variables, definiendo G = y / y0, z = (x-x0) / k

Con D = d / dz, obtenemos

D ^ 2 G = k ^ 2 / y0 ^ 3 G ^ (- 2)

Podemos eliminar la dependencia de y0 tomando k ^ 2 = a y0 ^ 3, donde la constante a es lo que queramos. Me gusta a = 2, por razones que quedarán claras en el paso 6)

Entonces obtenemos un problema de valor inicial específico para G:

D ^ 2 G = 2 / G ^ 2, G (0) = 1, DG (0) = 0

Dado que G (z) es una función universal definida por el IVP anterior, solo necesitamos evaluarla una vez.

La función así definida se parece a una V con un vértice redondeado. (una foto ayudaría, pero no he descubierto cómo transferir fotos a quora)

5)

La serie de Taylor sobre z = 0 muestra que G (z) se comporta como 1 + z ^ 2 + O (z ^ 4) como z -> 0.

(Elegí el factor de escala a = 2 para hacer el coeficiente de z ^ 2 1. Si elige a = 1, la ecuación para G es idéntica a la oda original. Esa sería una buena opción también).

Para z muy grande es bastante fácil ver que G-> b | z | – 2 / b ^ 2 ln | z | + …

(aunque no es tan fácil ver qué es b)

6) Todas las soluciones para y ahora se pueden escribir en términos de la función única G

y = y0 G ((x-x0) / (2 y0 ^ 3) ^. 5)

Es notable que una solución particular para y contenga todas las soluciones para y simplemente estirando los ejes x e y.

7) usando los métodos descritos en publicaciones anteriores, podemos resolver analíticamente para G (z):

Se puede representar paramétricamente por

G = (1 + cosh (2 t)) / 2

z = (t + .5 sinh (2 t)) / 2

A partir de eso podemos mostrar que como z-> inf

G-> 2z – .5 ln (8 z) + .5 + O (ln (z) / z)

8) el caso y0 = 0 es especial. Después de una integración obtenemos y (y ‘) ^ 2 = -2.

La solución es una ley de poder simple:

y = – [9/2 (x-x0) ^ 2] ^ (1/3)

Es simétrica, pero cúspide en el origen, con pendiente infinita. No parece estar relacionado con las soluciones con y0 \ = 0.

Answer 3

Notamos que [math] \ dfrac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} = \ dfrac {\ mathrm {d} y ‘} {\ mathrm {d} y} \ dfrac { \ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = y ‘\ dfrac {\ mathrm {d} y’} {\ mathrm {d} y} [/ math]

Al multiplicar por [math] \ mathrm {d} y [/ math] e integrar, obtenemos

[matemáticas] \ left (\ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ right) ^ 2 = C – \ dfrac {2} {y} [/ math]

Como no sabemos absolutamente nada acerca de los valores iniciales del problema, es apropiado hacer un análisis en este punto. Tenga en cuenta que [math] \ dfrac {Cy – 2} {y} \ geq 0 [/ math]. En aras de la definición, dejemos que [matemáticas] C> 0, y> 0 \ implique y \ geq \ dfrac {2} {C} [/ matemáticas]. Así,

[math] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ sqrt {\ dfrac {Cy – 2} {y}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ int \ sqrt {\ dfrac {y} {Cy – 2}} \ mathrm {d} y = x + C_1 [/ math]

La integral de la izquierda se puede resolver haciendo la sustitución [math] y = t ^ 2 \ implica \ mathrm {d} y = 2t \ mathrm {d} t [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sqrt {\ dfrac {y} {Cy – 2}} \ mathrm {d} y = \ int \ dfrac {2t ^ 2} {\ sqrt {Ct ^ 2 – 2}} \ mathrm {d} t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {2} {C} \ int \ sqrt {Ct ^ 2 – 2} \ mathrm {d} t + \ dfrac {4} {C} \ int \ dfrac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {Ct ^ 2 – 2}} [/ math]

Esto ahora es fácil de integrar. De manera similar, podemos explorar otras combinaciones posibles con [math] C [/ math] y [math] y [/ math] para obtener el conjunto completo de soluciones generales.

Answer 4

Hacemos la sustitución

[matemáticas] P = \ dfrac {dy} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ” = \ dfrac {dP} {dy} \ cdot \ dfrac {dy} {dx} = P \ dfrac {dP} {dy} [/ math]

[matemáticas] P \ dfrac {dP} {dy} = y ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int P \, dP = \ int y ^ {- 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {P ^ 2} {2} = – \ dfrac {1} {y} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica P ^ 2 = \ dfrac {2Cy-2} {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica P ^ 2 = \ dfrac {C_1 y-2} {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {dx} = \ sqrt {\ dfrac {C_1 y-2} {y}} [/ matemáticas]

Answer 5

Si permitieras un cambio, en eso;

y “= (-1 / y ^ 2) no = (+ 1 / y ^ 2), de lo contrario hay resultados imaginarios

Deje v = y ‘

Entonces y “= dv / dt = (dv / dy) (y ‘) = v (dv / dy) = (- 1 / y ^ 2)

v dv = (-dy / y ^ 2)

(1/2) v ^ 2 = (1 / año),

v ^ 2 = (2 / a), si (-2 / a), ¡la siguiente línea es imaginaria!)

v = y ‘= dy / dt = √ (2 / y)

y ^ (1/2) dy = √2 dt, integra ambos lados

(2/3) y ^ (3/2) = √2 t + c

y = [(3√2t + b) / 2] ^ (2/3)

Answer 6

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, variable separada

y ^ 2 y ”= 1

luego integre dos veces.

o ingrese su fórmula

y ”= 1 / y ^ 2

en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón dsolve para la solución, haga clic en el botón odetest para probar su solución

referencia en http://www.mathhandbook.com