¿Cuál es el valor de k si el sistema de soluciones tiene una solución trivial?

Answer 1

De acuerdo, estaba tratando de evitar responder esto, me toma mucho tiempo escribir matrices

Aquí está la matriz aumentada

[matemáticas] \ begin {pmatrix} k-1 & 3k-1 & 2k & 0 \\ k-1 & 4k-2 & 0 & – (k + 3) \\ 2 & 3k + 1 & 3 (k-1) & 0 \ end {pmatrix} [/matemáticas]

Hacer un cambio en filas

[matemáticas] \ begin {pmatrix} k-1 & 3k-1 & 2k & 0 \\ 2 & 3k + 1 & 3 (k-1) & 0 \\ k-1 & 4k-2 & 0 & – (k + 3) \ end {pmatrix} [/matemáticas]

Realice las siguientes operaciones

[matemáticas] R_2 = – \ dfrac {1} {2} (k-1) R_2 + R_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] R_3 = R_1-R_3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {pmatrix} k-1 & 3k-1 & 2k & 0 \\ 0 & – \ dfrac {1} {2} (3k ^ 2 + 8k-1) y 2k- \ dfrac {3} {2 } (k-1) ^ 2 & 0 \\ 0 & 1-k & 2k & k + 3 \ end {pmatrix} [/ math]

Ahora realiza la última operación

[matemáticas] R_3 = \ dfrac {1} {2} (3k ^ 2–8k + 1) R_3 + (1-k) R_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {pmatrix} k-1 & 3k-1 & 2k & 0 \\ 0 & – \ dfrac {1} {2} (3k ^ 2-8k + 1) y 2k- \ dfrac {3} {2 } (k-1) & 0 \\ 0 & 0 & k (3k ^ 2 + 8k-1) + 2k (k-1) + \ dfrac {3} {2} (k-1) ^ 3 & \ dfrac {1 } {2} (k + 3) (3k ^ 2 + 8k-1) \ end {pmatrix} [/ math]

La solución trivial se produce cuando el elemento de matriz [math] 3 \ times 3 [/ math] es [math] 0 [/ math]

[matemáticas] {1} {2} (k + 3) (3k ^ 2-8k + 1) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica k + 3 = 0 [/ math], ya que [math] 3k ^ 2–8k + 1> 0 \ forall k \ in \ R [/ math]

[matemáticas] \ implica k = -3 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que, omití uno o dos pasos aquí y allá, hice el problema completo con lápiz y papel antes de escribir y me tomó algo de tiempo. Deberías hacer lo mismo.

Gracias por la A2A

Answer 2

solución trivial significa que x, y, z son todos 0. Entonces eso sucederá cuando k = -3. Es la segunda ecuación donde tiene un término constante, que debe ser cero para que la solución trivial se mantenga.