Cómo resolver [matemáticas] (yx ^ 2) dx- (12xy + 1) dy = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Como se ha señalado, este DE no es exacto, y no veo de inmediato un factor integrador. Un enfoque posible es encontrar una solución de serie infinita: Si [math] y = a_0 + a_1x + a_2 x ^ 2 + \ cdots [/ math], entonces sustituyendo en [math] (12xy + 1) y ‘= y – x ^ 2 [/ math], tenemos: [math] \\ (1 + 12a_0 x + 12a_1 x ^ 2 + \ cdots) (a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x ^ 3 + \ cdots) = a_0 + a_1x + (a_2 -1) x ^ 2 + a_3 x ^ 3 + \ cdots [/ math]

A partir de una condición inicial [matemática] y (0) = a_0 = C [/ matemática], podemos equiparar coeficientes en el lado izquierdo y derecho y encontrar:

• [matemáticas] a_1 = a_0 = C [/ matemáticas],
• [matemáticas] a_2 = \ frac {1} {2} C – 6 C ^ 2 [/ matemáticas],
• [matemáticas] a_3 = – \ frac {1} {3} + \ frac {1} {6} C – 10C ^ 2 + 48C ^ 3 [/ matemáticas], etc.

Una advertencia para este enfoque: una solución en serie probablemente tiene un radio de convergencia limitado, como se evidencia al observar algunas curvas de solución aproximadas:

Campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales

Answer 2

Lo primero que haría es comprobar la exactitud de la ecuación. Si es exacto, es bastante simple de resolver. Si no, puede encontrar un factor integrador para hacerlo exacto y luego resolverlo. Puede resolverlo sustituyendo variables como han sugerido otros, o reescribiéndolo como una ecuación homogénea y separando variables, pero el método de ecuaciones exactas es otra opción para resolver esta ecuación.

Aquí hay un enlace a una respuesta a una pregunta similar utilizando el método de ecuaciones exactas: la respuesta de Brian Crow a ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] \ left (1 + 2e ^ {\ frac {x} {y}} \ right) \ mathrm {d} x + 2e ^ {\ frac {x} {y}} \ left (1 – \ frac {x} {y} \ right) \ mathrm {d} y = 0 [/ math] ?

Answer 3

[ Editar ] Al principio parecía una buena idea, pero después del comentario de Mike Wilkes llevé los cálculos hasta el final y vi que no había solución en la forma que propuse. Como conclusión, dejo la respuesta a continuación solo como un ejemplo sin salida.

Puede escribir x e y como funciones de otra variable independiente. Por ejemplo:

[matemáticas] x (t) = en ^ n + b => dx = nat ^ {n-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] y (t) = ct ^ n + d => dy = nct ^ {n-1} [/ matemáticas]

Luego sustituya en la ecuación original:

[matemáticas] (ct ^ n + d – en ^ {2n} – b ^ 2 -2abt ^ n) nat ^ {n-1} – (12act ^ {2n} + 12bct ^ n + 12adt ^ n + 12bdt + 1 ) nct ^ {n-1} = 0 [/ matemáticas]

reescritura:

[matemáticas] (t ^ {2n} (- a ^ 2-12ac ^ 2) + t ^ n (ac-2a ^ 2b-12bc ^ 2-12acd) + (- b ^ 2a-12bdc-c)) n * t ^ {n-1} = 0 [/ matemáticas]

Queremos que la igualdad se mantenga para cualquier [matemática] t [/ matemática], por lo que manipulamos las otras variables.

Un caso especial es [matemática] n = 0 [/ matemática]. Los otros casos se pueden calcular haciendo que el coeficiente de cada t potencia sea cero:

(1) [matemáticas] -a ^ 2-12ac ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

(2) [matemáticas] ac-2a ^ 2b-12bc ^ 2-12acd = 0 [/ matemáticas]

(3) [matemáticas] -b ^ 2a-12bdc-c = 0 [/ matemáticas]

Con 3 ecuaciones y 4 variables, tenemos un parámetro libre:

de (1): [matemática] a = 0 [/ matemática] o [matemática] a = -12c ^ 2 [/ matemática]

reemplazando [matemáticas] a [/ matemáticas] en (3): [matemáticas] d = (12b ^ 2-1) / (12b) [/ matemáticas]

luego reemplaza [math] a [/ math] y [math] d [/ math] en (2), da como resultado una ecuación que relaciona [math] b [/ math] y [math] c [/ math]. Si elegimos [math] b [/ math] para ser el parámetro libre, entonces (2) se convierte en una ecuación en [math] c [/ math]:

[matemáticas] -288bc ^ 4 + (144 * \ frac {12b ^ 2-1} {12b} -12) c ^ 3-12bc ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[ Editar ] ==========================

Las ecuaciones anteriores son incorrectas. Los correctos están a continuación:

[matemáticas] (ct ^ n + d – a ^ {2n} t ^ {2n} – b ^ 2 -2abt ^ n) nat ^ {n-1} – (12act ^ {2n} + 12bct ^ n + 12adt ^ n + 12bd + 1) nct ^ {n-1} = 0 [/ matemática]

reescritura:

[matemáticas] (t ^ {2n} (- a ^ 3-12ac ^ 2) + t ^ n (ac-2a ^ 2b-12bc ^ 2-12acd) + (ad-b ^ 2a-12bdc-c)) n * t ^ {n-1} = 0 [/ matemáticas]

Una solución sería hacer cero los coeficientes de cada factor t:

(1) [matemáticas] -a ^ 3-12ac ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

(2) [matemáticas] ac-2a ^ 2b-12bc ^ 2-12acd = 0 [/ matemáticas]

(3) [matemáticas] ad-b ^ 2a-12bdc-c = 0 [/ matemáticas]

Desafortunadamente no hay a, b, c, d que satisfagan las 3 relaciones anteriores.

Answer 4

Esta ecuación diferencial no se puede resolver utilizando técnicas estándar, por lo que se necesita un método de aproximación como las series de potencia. Utilicé la serie de Maclauren para obtener los primeros 3 términos, pero puede encontrar más términos si lo desea. Básicamente sigues diferenciando tu ecuación y sustituyes las condiciones dadas. Como no se dieron condiciones iniciales, utilicé una constante arbitraria A.

Answer 5

Gracias por la A2A Alena Everdeen, pero hasta ahora no soy de mucha ayuda. Les puedo decir que este ODE no es exacto ni separable. No es homogéneo (por lo que no se separará utilizando la sustitución habitual [matemáticas] y = vx [/ matemáticas]). Teniendo en cuenta mi experiencia limitada, estos hechos lo convierten en un problema no trivial. En particular, dado que no se puede escribir en forma lineal [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = Q (x) – yP (x) [/ matemáticas], el método habitual para encontrar un factor integrador no es sencillo (lo que significa que no he podido encontrar uno). Seguiré intentándolo y actualizaré esto si tengo éxito.